Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Логарифмы с переменным основанием и метод рационализации

Задание 16 проверяет умение решать сложные неравенства. Если основание логарифма зависит от $x$, классический подход требует разбивать решение на два случая: когда основание больше единицы (знак сохраняется) и когда оно меньше единицы (знак меняется). Это долго, громоздко и ведёт к потере корней.

Здесь работает метод рационализации (метод замены множителей). Он позволяет в один шаг заменить логарифмический множитель на простые скобки, избавившись от разбора случаев. Приём нужно знать даже при обычных логарифмических неравенствах: он ускоряет решение и уменьшает шанс ошибиться.

Суть метода и основные формулы

Идея метода: не решай исходное неравенство напрямую, а замени его множители на рациональные выражения, которые на ОДЗ принимают ровно такие же знаки (плюс, минус или ноль) при тех же значениях $x$. После замены остаётся обычное рациональное неравенство для метода интервалов.

Формально это выражается так: на области, где обе величины определены, выполняется тождество

Значит, в произведении или дроби, сравниваемой с нулём, один множитель можно заменить на другой без потери равносильности. Справа обязательно должен стоять ноль, а слева - произведение или дробь из множителей.

Общий алгоритм решения

Примеры решения

Примеры идут от базового случая к ЕГЭ-уровню.

Пример 1. Одиночный логарифм

Реши неравенство:

$$\log_x (3 - 2x) \leqslant 1$$

Пример 2. Дробь логарифмов, ЕГЭ-уровень

Реши неравенство:

$$\dfrac{\log_{x+2}(x^2 - 2x + 2)}{\log_{x+2}(4-x)} \leqslant 0$$

Пример 3. Произведение логарифмов

Реши неравенство:

$$\log_{x-1}(5 - x) \cdot \log_{x-1}(x + 1) \geqslant 0$$

Частые ошибки

Что запомнить

• Метод рационализации спасает от разбора случаев (основание больше или меньше единицы) и сокращает решение в 2-3 раза.

• На ОДЗ знак $\log_a b$ совпадает со знаком $(a-1)(b-1)$. Это ключевое тождество, из которого выводятся все остальные формулы таблицы.

• Замены работают только для множителей и только когда выражение сравнивается с нулём.

• Частное $\log_a b / \log_a c$ (одно основание) заменяется на $(b-1)/(c-1)$ - множитель $(a-1)^2 > 0$ сокращается.

• ОДЗ ($a > 0$, $a \neq 1$, аргументы $> 0$, знаменатель $\neq 0$) выписывай до любых преобразований. Финальное пересечение с ОДЗ обязательно.

Стратегия на экзамене

За что дают баллы

В задании 16 можно заработать от 0 до 2 баллов:

• 2 балла (максимум): обоснованно получен верный ответ. Правильно выписана ОДЗ, корректно применён метод рационализации, нет ошибок в методе интервалов, итоговое пересечение выполнено безупречно.

• 1 балл: возможны две ситуации:

  1. Логика решения верна, но допущена ровно одна вычислительная ошибка (арифметика, сокращение). Решение доведено до конца.
  2. Ответ отличается от верного ровно одной точкой: включена выколотая точка (круглая скобка заменена квадратной) или наоборот, потеряна изолированная точка $\{x_0\}$.

• 0 баллов: ОДЗ найдена неверно (например, забыто $a \neq 1$), метод рационализации применён к выражению, не сравниваемому с нулём, или допущена ошибка в свойствах логарифмов. Обрыв решения на полпути без итогового ответа также оценивается в 0 баллов.

Проверь себя

1. На что заменяется множитель $\log_a b$ при рационализации (на ОДЗ)?
   • $(a-1)(b-1)$
   • $(a-1)+(b-1)$
   • $\dfrac{a-1}{b-1}$
   • $ab-1$
2. Чем заменяется дробь $\dfrac{\log_a b}{\log_a c}$ (одно основание, на ОДЗ)?
   • $\dfrac{b-1}{c-1}$
   • $\dfrac{(a-1)(b-1)}{c-1}$
   • $\dfrac{b-c}{a-1}$
   • $(b-1)(c-1)$
3. Когда можно применять замены метода рационализации?
   • Только когда выражение — произведение или дробь из множителей, сравниваемая с нулём
   • В любом неравенстве с логарифмами, независимо от правой части
   • Только когда основание логарифма больше единицы
   • Только в строгих неравенствах
4. Какие условия входят в ОДЗ логарифма $\log_{a(x)} f(x)$ с переменным основанием?
   • $a(x) > 0$, $a(x) \neq 1$, $f(x) > 0$
   • Только $a(x) > 0$ и $f(x) > 0$
   • $a(x) > 1$ и $f(x) > 0$
   • $f(x) > 0$ и $f(x) \neq 1$

Проверить