Колебания и резонанс

Переходим к подкоренному и делаем замену

Числитель постоянен, поэтому амплитуда наибольшая там, где наименьшее значение принимает $f(\omega) = \left(400 - \omega^2\right)^2 + 288\omega^2$ при $\omega > 0$. Пусть $u = \omega^2$; при $\omega > 0$ величина $u$ пробегает все положительные значения:

Находим вершину и возвращаемся

Старший коэффициент $1 > 0$, минимум - в вершине $u_0 = 256 > 0$. То же даёт производная: $g'(u) = 2u - 512$ отрицательна при $u < 256$ и положительна при $u > 256$. Значит, $\omega^2 = 256$ и $\omega = 16$ (корень положительный).

Считаем амплитуду

Для сравнения: $A(12) \approx 4{,}7$ и $A(20) \approx 4{,}5$ - обе меньше.

Истолкование. Собственная частота равна $\sqrt{400} = 20$ рад/с, но раскачка максимальна при $16$ рад/с: затухание сдвинуло пик влево. Наибольшая амплитуда - около $5$ мм.

Ответ: 16 рад/с, амплитуда около 5 мм.

Обнуляем скобку

Числитель постоянен, слагаемое $R^2$ от частоты не зависит, а второе слагаемое - квадрат, то есть неотрицательно. Сумма наименьшая ровно тогда, когда квадрат равен нулю:

Считаем

Проверка: $\omega_0 L = 25$ Ом и $\dfrac{1}{\omega_0 C} = \dfrac{1}{0{,}04} = 25$ Ом - сошлось. При этой частоте подкоренное равно $R^2$, поэтому $I_{\max} = \dfrac{U}{R} = \dfrac{220}{44} = 5$.

Истолкование. Ток наибольший при резонансной частоте $500$ рад/с и равен $5$ амперам: катушка и конденсатор гасят друг друга, и цепь ведёт себя как одно активное сопротивление $44$ Ом. Для сравнения, при $\omega = 250$ и при $\omega = 1000$ ток одинаков и равен примерно $3{,}8$ А.

Ответ: 5 А при частоте 500 рад/с.

Убираем частоту из числителя

От $\omega$ зависят и числитель, и знаменатель. Разделим их на $\omega^2 > 0$; под корнем это деление на $\omega^4$:

Делаем замену и находим вершину

Пусть $s = \dfrac{1}{\omega^2}$; при $\omega > 0$ величина $s$ пробегает все положительные значения:

Старший коэффициент положителен, минимум - в вершине $s_0 = \dfrac{512}{320\,000} = 0{,}0016 > 0$. Отсюда $\omega^2 = 625$ и $\omega = 25$.

Считаем амплитуду

Для сравнения: $A(20) \approx 1{,}77$ и $A(35) \approx 1{,}81$.

Истолкование. Собственная частота станины равна $20$ рад/с, а сильнее всего она раскачивается при $25$ рад/с - выше собственной, потому что удар растёт вместе с оборотами. Эту скорость надо проскакивать при разгоне и выбеге станка.

Ответ: 25 рад/с.

Делаем замену

$T^2 = 0{,}64$; числитель постоянен, поэтому ищем наименьшее значение подкоренного при $\tau > 0$. Пусть $u = \dfrac{0{,}64}{\tau^2}$; при $\tau > 0$ величина $u$ пробегает все положительные значения:

Находим вершину и возвращаемся к периоду

Ветви вверх, минимум - в вершине $u_0 = 0{,}64 > 0$. Значит,

Переводим период в скорость

За один период вагон проезжает расстояние между стыками:

Амплитуда при этом $A = \dfrac{4{,}6}{\sqrt{0{,}5904}} \approx 6{,}0$ мм; при $112{,}5$ км/ч ($\tau = 0{,}8$ с) - около $5{,}4$ мм, при $72$ км/ч ($\tau = 1{,}25$ с) - около $5{,}7$ мм.

Истолкование. Сильнее всего кузов раскачивается на скорости $90$ км/ч: толчки идут с периодом $1$ с, резонансным для этого вагона, хотя период его собственных колебаний равен $0{,}8$ с.

Ответ: 90 км/ч.