Смеси и сплавы с оптимизацией

Содержание

Смеси и сплавы с оптимизацией (Задание 17)
Модель: три компонента и два баланса
Отрезок допустимых рецептур
Почему производная не нужна
Алгоритм
Примеры решения
Как оформить решение на 2 балла
Частые ошибки

Смеси и сплавы с оптимизацией (Задание 17)

Три раствора, три корма, три сплава - и требование получить смесь заданной массы с заданной долей главного вещества. Способов смешать бесконечно много, и они различаются побочным компонентом: примесью, жиром, никелем. Задание 17 просит найти рецептуру, при которой побочного вещества будет меньше всего (или указать, в каких пределах оно может меняться). Производная здесь не нужна ни разу - всё решает алгебра.

Модель: три компонента и два баланса

Три исходных материала и один сосуд для смеси

ВАЖНОЕ

Два уравнения баланса

Пусть в смесь взяли $x$ , $y$ и $z$ килограммов первого, второго и третьего материалов. Тогда

x + y + z = M \quad (\text{баланс массы}), \qquad a_1x + a_2y + a_3z = aM \quad (\text{баланс вещества})

x \geqslant 0, \qquad y \geqslant 0, \qquad z \geqslant 0

Неизвестных три, уравнений два - значит, свободна ровно одна переменная. Обычно за неё берут $z$ : из первого уравнения $x = M - y - z$ , подстановка во второе даёт связь между $y$ и $z$ , а затем $y$ и $x$ выражаются через $z$ линейно.

Отрезок допустимых рецептур

Почему производная не нужна

ВАЖНОЕ

Линейная функция на отрезке

Масса побочного вещества

m(z) = b_1x(z) + b_2y(z) + b_3z

линейная комбинация линейных функций, то есть снова линейная функция: $m(z) = kz + c$ . У неё нет ни максимумов, ни минимумов внутри промежутка:

k > 0 \implies \text{возрастает: минимум в } z_1,\ \text{максимум в } z_2

k < 0 \implies \text{убывает: минимум в } z_2,\ \text{максимум в } z_1

k = 0 \implies \text{постоянна: рецептура на массу примеси не влияет}

График массы примеси как линейной функции на отрезке

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как решать задачу о смеси с оптимизацией

Обозначь массы. Пусть $x$ , $y$ , $z$ - массы первого, второго и третьего материалов в килограммах; $x, y, z \geqslant 0$ .
Выпиши два баланса. Масса: $x + y + z = M$ . Главное вещество: $a_1x + a_2y + a_3z = aM$ (правую часть посчитай числом сразу).
Исключи $x$ . Подставь $x = M - y - z$ во второе уравнение и получи линейную связь между $y$ и $z$ .
Вырази $y$ и $x$ через $z$ . Обе должны получиться линейными функциями.
Найди отрезок. Реши три неравенства $x \geqslant 0$ , $y \geqslant 0$ , $z \geqslant 0$ и пересеки промежутки.
Составь целевую функцию массы побочного вещества и приведи её к виду $kz + c$ .
Возьми нужный конец отрезка по знаку $k$ , вычисли значение и восстанови рецептуру: три массы и их проверка по обоим балансам.

Примеры решения

Пример 1. Наименьшая примесь в растворе

Условие: На складе есть три раствора одного и того же реактива. Первый содержит $20\%$ кислоты и $10\%$ вредной примеси, второй - $50\%$ кислоты и $30\%$ примеси, третий - $60\%$ кислоты и $20\%$ примеси (остальное в каждом растворе - вода). Из этих растворов нужно приготовить $20$ кг смеси, содержащей ровно $40\%$ кислоты. Какова наименьшая возможная масса примеси в полученной смеси и как для этого следует смешать растворы?

Записываем балансы

Пусть в смесь взяли $x$ , $y$ и $z$ килограммов первого, второго и третьего растворов, $x, y, z \geqslant 0$ :

x + y + z = 20, \qquad 0{,}2x + 0{,}5y + 0{,}6z = 0{,}4 \cdot 20 = 8

Оставляем одну переменную

Подставим $x = 20 - y - z$ во второе уравнение:

4 - 0{,}2y - 0{,}2z + 0{,}5y + 0{,}6z = 8, \qquad 0{,}3y + 0{,}4z = 4, \qquad 3y + 4z = 40

y = \dfrac{40 - 4z}{3}, \qquad x = 20 - y - z = \dfrac{60 - 40 + 4z - 3z}{3} = \dfrac{20 + z}{3}

Находим отрезок

Условие $y \geqslant 0$ даёт $z \leqslant 10$ ; условие $z \geqslant 0$ - левый конец; при этом $x = \dfrac{20 + z}{3} > 0$ выполняется автоматически. Итого $z \in [0;\, 10]$ .

Составляем функцию массы примеси

m(z) = 0{,}1x + 0{,}3y + 0{,}2z = \dfrac{0{,}1(20 + z) + 0{,}3(40 - 4z)}{3} + 0{,}2z = \dfrac{14 - 1{,}1z}{3} + 0{,}2z = \dfrac{14 - 0{,}5z}{3}

Берём конец отрезка

Функция линейна, коэффициент при $z$ отрицателен - значит, она убывает, и наименьшее значение достигается в правом конце, при $z = 10$ :

m(10) = \dfrac{14 - 5}{3} = 3, \qquad y = \dfrac{40 - 40}{3} = 0, \qquad x = \dfrac{30}{3} = 10

Проверка: $10$ кг первого и $10$ кг третьего растворов дают $0{,}2 \cdot 10 + 0{,}6 \cdot 10 = 8$ кг кислоты (ровно $40\%$ от $20$ кг) и $0{,}1 \cdot 10 + 0{,}2 \cdot 10 = 3$ кг примеси.

Интерпретация. Второй раствор в смесь брать не нужно вовсе: несмотря на высокое содержание кислоты, он приносит слишком много примеси. Меньше $3$ кг примеси - это $15\%$ массы смеси - при требовании «ровно $40\%$ кислоты» получить невозможно.

Ответ: $3$ кг примеси; взять по $10$ кг первого и третьего растворов, второй не использовать.

Пример 2. Наименьший жир в кормовой смеси

Условие: Кормовая смесь готовится из трёх видов корма. Первый содержит $15\%$ белка и $7\%$ жира, второй - $25\%$ белка и $6\%$ жира, третий - $45\%$ белка и $10\%$ жира. Нужно приготовить $400$ кг смеси, в которой белок составляет ровно $35\%$ . Какое наименьшее количество жира может содержаться в такой смеси и как для этого следует смешать корма?

Записываем балансы

Пусть в смесь взяли $x$ , $y$ и $z$ килограммов первого, второго и третьего кормов, $x, y, z \geqslant 0$ :

x + y + z = 400, \qquad 0{,}15x + 0{,}25y + 0{,}45z = 0{,}35 \cdot 400 = 140

Оставляем одну переменную

Подставим $x = 400 - y - z$ :

60 + 0{,}1y + 0{,}3z = 140, \qquad y + 3z = 800

y = 800 - 3z, \qquad x = 400 - (800 - 3z) - z = 2z - 400

Находим отрезок

Здесь обе границы приходят от неотрицательности масс: из $x \geqslant 0$ следует $z \geqslant 200$ , из $y \geqslant 0$ следует $z \leqslant \dfrac{800}{3}$ . Итого $z \in \left[200;\ \dfrac{800}{3}\right]$ .

Составляем функцию массы жира

f(z) = 0{,}07x + 0{,}06y + 0{,}1z = 0{,}07(2z - 400) + 0{,}06(800 - 3z) + 0{,}1z

f(z) = 0{,}14z - 28 + 48 - 0{,}18z + 0{,}1z = 0{,}06z + 20

Берём конец отрезка

Коэффициент при $z$ положителен - функция возрастает, наименьшее значение в левом конце, при $z = 200$ :

f(200) = 12 + 20 = 32, \qquad y = 800 - 600 = 200, \qquad x = 400 - 400 = 0

Проверка: $200$ кг второго и $200$ кг третьего кормов дают $0{,}25 \cdot 200 + 0{,}45 \cdot 200 = 140$ кг белка (ровно $35\%$ ) и $0{,}06 \cdot 200 + 0{,}1 \cdot 200 = 32$ кг жира.

Интерпретация. Первый корм в смесь не входит, хотя жира в нём немного: из-за низкого содержания белка его пришлось бы компенсировать самым жирным третьим кормом. Меньше $32$ кг жира - это $8\%$ массы - при требовании «ровно $35\%$ белка» получить нельзя.

Ответ: $32$ кг жира; взять по $200$ кг второго и третьего кормов, первый не использовать.

Пример 3. В каких пределах может меняться примесь

Условие: В мастерской есть три сплава серебра. Первый содержит $20\%$ серебра и $10\%$ никеля, второй - $40\%$ серебра и $2\%$ никеля, третий - $60\%$ серебра и $8\%$ никеля (остальное в каждом сплаве - медь). Из этих сплавов нужно получить $40$ кг сплава, содержащего ровно $50\%$ серебра. В каких пределах может меняться масса никеля в полученном сплаве?

Диапазон массы никеля и две крайние рецептуры

Записываем балансы

Пусть в новый сплав взяли $x$ , $y$ и $z$ килограммов первого, второго и третьего сплавов, $x, y, z \geqslant 0$ :

x + y + z = 40, \qquad 0{,}2x + 0{,}4y + 0{,}6z = 0{,}5 \cdot 40 = 20

Оставляем одну переменную

Подставим $x = 40 - y - z$ :

8 + 0{,}2y + 0{,}4z = 20, \qquad y + 2z = 60

y = 60 - 2z, \qquad x = 40 - (60 - 2z) - z = z - 20

Находим отрезок

Из $x \geqslant 0$ следует $z \geqslant 20$ , из $y \geqslant 0$ следует $z \leqslant 30$ . Итого $z \in [20;\, 30]$ .

Составляем функцию массы никеля

n(z) = 0{,}1x + 0{,}02y + 0{,}08z = 0{,}1(z - 20) + 0{,}02(60 - 2z) + 0{,}08z = 0{,}14z - 0{,}8

Берём оба конца

Функция линейна и возрастает ( $0{,}14 > 0$ ), поэтому на отрезке $[20;\, 30]$ она принимает наименьшее значение в левом конце и наибольшее в правом:

n(20) = 2{,}8 - 0{,}8 = 2 \quad (x = 0,\ y = 20,\ z = 20), \qquad n(30) = 4{,}2 - 0{,}8 = 3{,}4 \quad (x = 10,\ y = 0,\ z = 30)

Функция $n$ непрерывна на отрезке, поэтому все промежуточные значения тоже достигаются. Проверка крайних рецептур: $0{,}4 \cdot 20 + 0{,}6 \cdot 20 = 20$ кг серебра и $0{,}02 \cdot 20 + 0{,}08 \cdot 20 = 2$ кг никеля; $0{,}2 \cdot 10 + 0{,}6 \cdot 30 = 20$ кг серебра и $0{,}1 \cdot 10 + 0{,}08 \cdot 30 = 3{,}4$ кг никеля.

Интерпретация. При заданной пробе (ровно $50\%$ серебра) содержание никеля нельзя опустить ниже $2$ кг и нельзя поднять выше $3{,}4$ кг: от $5\%$ до $8{,}5\%$ массы сплава. Выбор рецептуры меняет массу вредной примеси почти вдвое.

Ответ: от $2$ кг до $3{,}4$ кг никеля.

Как оформить решение на 2 балла

Критерии ФИПИ для задания 17: $2$ балла - обоснованно получен верный ответ; $1$ балл - последовательность всех шагов верна, но допущена вычислительная ошибка; $0$ - в остальных случаях. Отсутствие производной здесь ничего не отнимает: обоснованием служит слово «линейная» плюс знак коэффициента. В чистовике должны стоять шесть пунктов.

Переменные и их смысл: «пусть $x$ , $y$ , $z$ - массы первого, второго и третьего растворов в килограммах».
Два уравнения баланса с посчитанными числами в правых частях.
Все три массы как функции одной переменной: $x(z)$ , $y(z)$ , $z$ .
Отрезок допустимых значений с указанием, какое неравенство дало каждый конец.
Целевая функция в виде $kz + c$ и вывод: линейна, возрастает или убывает, поэтому экстремум - в таком-то конце.
Ответ в терминах задачи: масса побочного вещества с единицами и рецептура (сколько чего взять, что не брать вовсе).

Частые ошибки

ИТОГ

Что запомнить

Три компонента, два уравнения (масса и главное вещество) - остаётся одна свободная переменная.
Порядок: подставить $x = M - y - z$ во второй баланс, выразить $y$ через $z$ , затем $x$ через $z$ .
Отрезок допустимых рецептур даёт неотрицательность всех трёх масс; проверять надо все три неравенства.
Масса побочного вещества линейна по $z$ : экстремум - на конце отрезка, производная не нужна.
Конец выбирается по знаку коэффициента $k$ , а не по слову «наименьшая».
На конце отрезка одна из масс равна нулю: оптимальная смесь всегда двухкомпонентная.
В ответе - и число с единицами, и рецептура.

СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: $15$ - $20$ минут. Самый предсказуемый сюжет задания 17: схема одна и та же, меняются только проценты.
Проценты сразу в доли. $40\%$ от $20$ кг - это $8$ кг; пиши число, а не выражение, иначе оно потянется через всё решение.
Держи таблицу. Три строки (материалы) и три столбца (главное вещество, побочное, масса) - и ни одно данное условия не потеряется.
Проверяй крайние рецептуры прямо по условию. Подставь найденные массы в оба баланса: доля главного вещества обязана совпасть с заданной до цифры.
Соседние темы. Если ресурс делится между двумя объектами с нелинейной отдачей - это «Распределение ресурса», и там уже нужна производная. Если в задаче появляются целые штуки и два ограничения-неравенства - это «Линейная и целочисленная оптимизация».

Проверь себя

Три материала, задана масса смеси и доля главного вещества. Сколько остаётся свободных переменных?
Масса примеси оказалась равна $m(z) = 0{,}06z + 20$ на отрезке $[200;\ 260]$ . Где наименьшее значение?
Что даёт условие $y \geqslant 0$ ?
Почему в оптимальной смеси один из материалов обычно не используется?
Целевая функция получилась $m(z) = 12$ - без $z$ . Что это значит?