Вычисление значений тригонометрических выражений

Суть темы

В задании 8 первой части ЕГЭ проверяется умение работать с числовыми и буквенными выражениями. Тригонометрия - абсолютный лидер этого номера, она встречается примерно в трети всех вариантов.

Суть задач проста: тебе дают выражение с нестандартными, «некрасивыми» углами (например, $68^\circ$, $154^\circ$ или $\dfrac{7\pi}{8}$), значения которых нет в таблице. Твоя задача - свернуть выражение тригонометрическими формулами так, чтобы получился табличный угол, а в итоге - целое число или конечная десятичная дробь.

Основные формулы

Для успешного решения достаточно уверенно владеть четырьмя группами формул.

Формулы двойного угла - главный инструмент в этом задании. Если видишь в задаче угол и угол в два раза больше (например, $34^\circ$ и $68^\circ$), сразу применяй их.

Для работы с большими углами или радианами понадобятся формулы приведения. Их не нужно учить наизусть, достаточно понимать, как они работают на окружности.

Формулы приведения легко восстановить по окружности: точка для угла $\pi - \alpha$ симметрична точке для $\alpha$ относительно оси $Oy$. Проекция на $Oy$ (синус) сохраняется, проекция на $Ox$ (косинус) меняет знак.

Чтобы не путаться со знаками, держи перед глазами разметку окружности по четвертям.

Алгоритм решения

Примеры

Четыре типичных примера от простого к сложному.

Пример 1. Сокращение дроби с двойным углом

Найди значение выражения

$$\dfrac{14\sin 58^\circ \cdot \cos 58^\circ}{\sin 116^\circ}$$

Решение:

1. Между углами есть связь: $116^\circ$ ровно в два раза больше $58^\circ$.
2. В числителе стоит произведение синуса на косинус одного угла. Это отсылка к формуле $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.
3. Вытащи двойку из числа $14$:

$$14\sin 58^\circ \cdot \cos 58^\circ = 7 \cdot (2\sin 58^\circ \cdot \cos 58^\circ)$$

4. Сверни скобку:

$$2\sin 58^\circ \cdot \cos 58^\circ = \sin(2 \cdot 58^\circ) = \sin 116^\circ$$

5. Перепиши исходную дробь:

$$\dfrac{7 \cdot \sin 116^\circ}{\sin 116^\circ} = 7$$

Ответ: 7

Пример 2. Вычисление по заданному значению

Найди значение выражения $4\cos 2\alpha$, если известно, что $\sin \alpha = -0{,}3$.

Пример 3. Работа с радианами и вынесение за скобки

Найди значение выражения

$$\sqrt{50} - 2\sqrt{50}\sin^2 \dfrac{15\pi}{8}$$

Пример 4. Определение знака по четверти и тангенс

Найди значение выражения $10\cos \alpha$, если $\sin \alpha = -\dfrac{3}{5}$ и $\dfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Связь углов. Если углы в числителе и знаменателе отличаются в $2$ раза - это стопроцентный сигнал применять синус или косинус двойного угла.
• Маскировка формулы. Выражение вида $\text{число} - 2 \cdot \text{число} \cdot \sin^2 \alpha$ решается вынесением «числа» за скобки, внутри образуется $\cos 2\alpha$.
• Радианы в градусы. Если радианы пугают, переведи их в градусы, подставив вместо $\pi$ число $180^\circ$. Например, $\dfrac{7\pi}{8} = \dfrac{7 \cdot 180^\circ}{8} = 157{,}5^\circ$.
• Знак - через четверть. Всегда рисуй или представляй окружность и проверяй, в какой четверти лежит аргумент.
• Табличка всегда под рукой. Если на ЕГЭ забыл значение $\cos \dfrac{\pi}{6}$, восстанови из окружности: проекция на ось $Ox$ для угла $30^\circ$ равна $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равно выражение $2\sin 15^\circ \cos 15^\circ$?
   • $\sin 30^\circ = 0{,}5$
   • $\sin 15^\circ$
   • $\cos 30^\circ$
   • $2\sin 30^\circ$
2. Известно, что $\sin \alpha = -0{,}2$. Чему равен $\cos 2\alpha$?
   • $0{,}92$
   • $1{,}08$
   • $0{,}96$
   • $-0{,}92$
3. Угол $\alpha$ лежит в промежутке $\dfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Какой знак имеет $\cos \alpha$?
   • положительный
   • отрицательный
   • зависит от значения $\sin \alpha$
4. Каким НЕ может быть ответ задания 8 первой части ЕГЭ?
   • $\sqrt{2}$
   • $7$
   • $3{,}28$
   • $-0{,}5$

Проверить