Теоремы о вероятностях событий

Определяем тип событий

События $A$ («деньги закончились в первом») и $B$ («деньги закончились во втором») - совместные (могут произойти одновременно) и к тому же зависимые: если один опустел, люди идут ко второму и опустошают его быстрее. Напрямую перемножать $0{,}25 \cdot 0{,}25$ нельзя.

Применяем формулу сложения для совместных событий

Найдём вероятность события «деньги закончились хотя бы в одном банкомате» - это $P(A+B)$:

Переходим к противоположному событию

Искомое событие «деньги остались в обоих» - это противоположное к тому, что мы только что нашли: хотя бы один опустел.

Ответ: $0{,}65$

Выделяем сценарии

Смартфон может оказаться забракованным по двум непересекающимся сценариям:

• Сценарий 1: Смартфон бракованный И система верно его забраковала.
• Сценарий 2: Смартфон исправный И система ошибочно его забраковала.

Вероятность того, что смартфон исправный: $1 - 0{,}05 = 0{,}95$.

Считаем вероятности сценариев

Вероятность Сценария 1 (правило умножения):

Вероятность Сценария 2:

Складываем по формуле полной вероятности

Сценарии несовместны - значит, полная вероятность - их сумма:

Ответ: $0{,}067$

Разбиваем ось на участки

Разобьём числовую ось на три непересекающихся участка: «ниже $15$», «от $15$ до $22$» и «от $22$ и выше». Сумма их вероятностей равна $1$.

Находим вероятность крайнего участка

Участок «$+22\ ^\circ\text{C}$ и выше» - это противоположное к «ниже $+22\ ^\circ\text{C}$»:

Составляем уравнение и решаем

Условие «выше $+15\ ^\circ\text{C}$» объединяет два непересекающихся участка: искомый (от $15$ до $22$, обозначим его $x$) и «от $22$ и выше» ($0{,}1$). Они несовместны - складываем:

Выражаем $x$:

Ответ: $0{,}75$

Узнаём формулу Бернулли

В задаче серия из одинаковых независимых испытаний - это формула Бернулли с $n = 5$, $k = 4$, $p = 0{,}8$.

Считаем число сочетаний

Посчитаем число сочетаний - сколькими способами можно выбрать, какие именно $4$ выстрела из $5$ окажутся успешными:

Подставляем и вычисляем

Подставим в формулу:

Перемножаем:

Ответ: $0{,}4096$

Выписываем гипотезы

$H_1$ - пациент болен, $P(H_1) = 0{,}04$; $H_2$ - пациент здоров, $P(H_2) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$. Событие $A$ - тест дал положительный результат. Из условия $P(A \mid H_1) = 0{,}9$ и $P(A \mid H_2) = 0{,}025$.

Считаем полную вероятность положительного результата

На тысячу пациентов тест срабатывает у $60$ человек: у $36$ больных и у $24$ здоровых.

Берём нужную ветку и делим

Тест «срабатывает у $90\,\%$ больных», а верным его срабатывание оказывается лишь в $60\,\%$ случаев: здоровых просто в $24$ раза больше, и их редкие ошибочные результаты сравнимы по числу с настоящими. Будь заболевание вчетверо реже (у $1\,\%$ пациентов), вероятность упала бы примерно до $0{,}27$.

Ответ: $0{,}6$

Считаем, сколько всего наборов

Порядок, в котором детали оказались в руке, роли не играет, поэтому считаем сочетаниями:

Считаем подходящие наборы

Две бракованные выбираем из четырёх, одну исправную - из шести оставшихся:

Делим

Проверяем цепочкой

Пусть детали берут по одной. Вероятность порядка «брак - брак - исправная» равна

Исправная деталь может оказаться на любом из трёх мест, а вероятность каждого такого порядка одна и та же, поэтому $P = 3 \cdot 0{,}1 = 0{,}3$ - ответ совпал.

Ответ: $0{,}3$

Переводим условие в цепочку

«Первый синий - третий по счёту» означает ровно одно: первый шар жёлтый И второй жёлтый И третий синий. Что произойдёт дальше, на событие не влияет.

Считаем вероятность каждого шага

Шаров $6$, жёлтых среди них $3$:

После первого извлечения осталось $5$ шаров, жёлтых $2$:

Осталось $4$ шара, и все три синих на месте:

Перемножаем

Если бы шар каждый раз возвращали в коробку, извлечения стали бы независимыми и вероятность равнялась бы $0{,}5^2 \cdot 0{,}5 = 0{,}125$. Разница невелика, но схемы разные, и путать их нельзя.

Ответ: $0{,}15$