Кредиты с дифференцированными платежами

Кредиты с дифференцированными платежами (Задание 13)

Дифференцированная схема - вторая из двух кредитных моделей задания 13. Опознаётся она по одной фразе условия: «долг должен быть на одну и ту же величину меньше». Одинаково убывает долг, а выплаты каждый период получаются разные - ровно наоборот по сравнению со схемой равных платежей. Считается такой кредит легче: геометрическая прогрессия здесь не нужна, всё держится на арифметической.

Как убывает долг

Пусть взят кредит $S$ рублей на $n$ периодов (лет или месяцев), ставка за период - $r\%$. Условие «долг убывает на одну и ту же величину» означает, что за каждый период тело долга гасится одинаковой долей.

Из чего состоит платёж

Порядок действий внутри периода всегда один: сначала на остаток долга начисляются проценты, и только потом вносится платёж.

Раз после платежа долг обязан уменьшиться ровно на $\dfrac{S}{n}$, платёж должен покрыть проценты целиком и сверх того погасить эту долю тела.

Переплата за весь кредит

Складывать платежи по одному долго. Все тела долга дают в сумме ровно $S$, поэтому достаточно сложить проценты.

Проценты за периоды начисляются на остатки $S,\ \dfrac{n-1}{n}S,\ \dots,\ \dfrac{1}{n}S$, то есть на $n,\ n-1,\ \dots,\ 1$ долей по $\dfrac{S}{n}$. Сумма такого ряда - классическая сумма Гаусса $\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Алгоритм решения

Примеры решения

Пример 1. Общая сумма всех платежей

Условие: Максим берёт в банке $1\,200\,000$ рублей на четыре года. В начале каждого года невыплаченный остаток долга увеличивается на $10\%$, после чего в течение года вносится платёж. Платежи подобраны так, чтобы после каждого из них остаток долга уменьшался на одну и ту же величину и через четыре года стал равен нулю. Сколько рублей составит общая сумма всех платежей?

Пример 2. Наибольший платёж

Условие: Магазин взял кредит $900\,000$ рублей на три года. Каждый год долг сначала увеличивается на $20\%$, а затем гасится очередным платежом. Платежи подобраны так, что остаток долга уменьшается ежегодно на одну и ту же сумму и через три года обращается в нуль. Найдите размер наибольшего из платежей.

Пример 3. Платёж с конкретным номером

Условие: Кредит $1\,800\,000$ рублей взят на шесть лет. В начале каждого года остаток долга увеличивается на $14\%$, затем вносится платёж; долг уменьшается ежегодно на одну и ту же величину и через шесть лет становится нулевым. Сколько рублей составит четвёртый платёж?

Пример 4. Обратная задача: найти сумму кредита

Условие: Кредит взят на четыре года. В начале каждого года остаток долга увеличивается на $15\%$, затем вносится платёж, причём долг уменьшается на одну и ту же величину и через четыре года обращается в нуль. Общая сумма всех выплат составила $1\,100\,000$ рублей. Сколько рублей было взято в кредит?

Частые ошибки

Что запомнить

• Маркер схемы - фраза «долг уменьшается на одну и ту же величину». Она решает всё: остальные слова условия на выбор модели не влияют.
• Тело периода $d = \dfrac{S}{n}$ одинаково всегда; остатки и платежи - две убывающие арифметические прогрессии.
• Платёж: $X_k = \dfrac{S}{n} + \dfrac{r}{100} \cdot D_{k-1}$, где $D_{k-1} = \dfrac{n-k+1}{n} \cdot S$. Наибольший - первый, наименьший - последний.
• Переплата: $\Pi = \dfrac{r}{100} \cdot S \cdot \dfrac{n+1}{2}$, общая сумма выплат: $S + \Pi$.
• Обратные задачи («найдите сумму кредита», «найдите ставку») решаются подстановкой известного в ту же формулу: получается одно линейное уравнение.

Проверь себя

1. Какая фраза в условии означает дифференцированную схему?
   • «Долг уменьшается на одну и ту же величину»
   • «Кредит погашен равными платежами»
   • «Проценты начисляются раз в год»
   • «Долг увеличивается на $r\%$ в начале каждого года»
2. Кредит $2\,400\,000$ рублей на шесть лет под $8\%$. На сколько рублей общая сумма выплат превысит сумму кредита?
   • $672\,000$
   • $1\,152\,000$
   • $2\,400\,000$
   • $3\,072\,000$
3. Кредит $600\,000$ рублей на пять лет под $10\%$. Чему равен последний платёж?
   • $132\,000$
   • $120\,000$
   • $180\,000$
   • $150\,000$
4. Какую прогрессию образуют платежи в дифференцированной схеме?
   • Арифметическую убывающую с разностью $-\dfrac{r}{100}\cdot\dfrac{S}{n}$
   • Геометрическую убывающую со знаменателем $1 - \dfrac{r}{100}$
   • Постоянную: все платежи равны
   • Арифметическую возрастающую

Проверить