Сечения призм

Строим сечение и доказываем, что это трапеция (пункт а)

1. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $AB$, которая принадлежит нижнему основанию $ABC$.
2. Верхнее основание $A_1B_1C_1$ параллельно нижнему основанию. По свойству параллельных плоскостей, плоскость $\alpha$ должна пересекать верхнее основание по прямой, параллельной $AB$.
3. В треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $A_1C_1$ и $B_1C_1$. Значит, $MN$ - средняя линия треугольника, и $MN \parallel A_1B_1$.
4. Так как призма прямая, $A_1B_1 \parallel AB$. Следовательно, $MN \parallel AB$.
5. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ параллельно $AB$, значит, она пересекает верхнее основание именно по отрезку $MN$. Сечением является четырёхугольник $ABNM$.
6. У четырёхугольника $ABNM$ стороны $AB$ и $MN$ параллельны, значит, это трапеция.

Доказываем равнобедренность (пункт а)

7. Возьми прямоугольные треугольники $AA_1M$ и $BB_1N$. $AA_1 = BB_1$ (боковые рёбра правильной призмы). $A_1M = B_1N$ (половины равных рёбер $A_1C_1$ и $B_1C_1$). Следовательно, $\triangle AA_1M = \triangle BB_1N$ по двум катетам, откуда $AM = BN$.
8. Так как боковые стороны равны, трапеция $ABNM$ - равнобедренная. Ч.т.д.

Находим стороны трапеции (пункт б)

1. Найдём длины всех сторон трапеции $ABNM$. Основание $AB = 4$ (по условию). Основание $MN = \dfrac{1}{2} A_1B_1 = 2$ (свойство средней линии).
2. Найдём боковую сторону $AM$ из прямоугольного треугольника $AA_1M$: $AA_1 = 4$, $A_1M = 2$. $AM = \sqrt{AA_1^2 + A_1M^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Считаем высоту и площадь

3. В равнобедренной трапеции опустим высоты $MH_1$ и $NH_2$ на основание $AB$. Отрезки на нижнем основании: $AH_1 = BH_2 = \dfrac{AB - MN}{2} = \dfrac{4 - 2}{2} = 1$.
4. Из прямоугольного треугольника $AMH_1$ найдём высоту трапеции $h = MH_1$: $h = \sqrt{AM^2 - AH_1^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 1^2} = \sqrt{20 - 1} = \sqrt{19}$.
5. Площадь трапеции: $S = \dfrac{AB + MN}{2} \cdot h = \dfrac{4 + 2}{2} \cdot \sqrt{19} = 3\sqrt{19}$.

Ответ: б) $3\sqrt{19}$

Вводим координаты (пункт а)

Введём систему координат $Oxyz$ с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль $AB$, ось $Oy$ - вдоль $AD$, ось $Oz$ - вдоль $AA_1$.

1. Запишем координаты точек:

$B(4;\, 0;\, 0) \implies M(4;\, 0;\, 3)$ (так как $BM=3$) $D(0;\, 4;\, 0) \implies N(0;\, 4;\, 3)$ (так как $DN=3$)

Составляем уравнение плоскости

2. Составим уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через $A$, $M$, $N$. Общий вид: $ax + by + cz + d = 0$. Так как плоскость проходит через начало координат $A(0;\,0;\,0)$, коэффициент $d = 0$. Подставим координаты $M$: $4a + 0b + 3c = 0 \implies c = -\dfrac{4}{3}a$. Подставим координаты $N$: $0a + 4b + 3c = 0 \implies 4b - 4a = 0 \implies b = a$. Пусть $a = 3$, тогда $b = 3$, $c = -4$. Уравнение плоскости $\alpha$: $3x + 3y - 4z = 0$.

Достраиваем сечение и доказываем ромб

3. Найдём точку пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $CC_1$. Прямая $CC_1$ имеет координаты $x = 4$, $y = 4$. Подставим в уравнение плоскости: $3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 - 4z = 0 \implies 24 - 4z = 0 \implies z = 6$. Точка $K(4;\, 4;\, 6)$ лежит на ребре $CC_1$ (так как $6 \leqslant 8$). Сечение - четырёхугольник $AMKN$.
4. Вычислим длины сторон сечения по формуле расстояния между точками: $AM = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = 5$. $MK = \sqrt{(4-4)^2 + (4-0)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = 5$. $KN = \sqrt{(0-4)^2 + (4-4)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = 5$. $NA = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = 5$. Все четыре стороны равны. Значит, $AMKN$ - ромб. Ч.т.д.

Считаем расстояние от точки до плоскости (пункт б)

1. Точка $B_1$ имеет координаты: $x = 4$, $y = 0$, $z = 8$ (так как $AA_1 = 8$).
2. Плоскость $\alpha$ задана уравнением $3x + 3y - 4z = 0$.
3. Используем формулу расстояния от точки до плоскости:

Ответ: б) $\dfrac{10\sqrt{34}}{17}$