Задание 19: Задача с параметром

Содержание

О задании
Какие темы встречаются
Основные методы решения
Общий алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

О задании

Задание 19 - это задача с параметром. Одно из самых сложных, но при этом самых интересных заданий профильного ЕГЭ. Оно проверяет умение анализировать математические модели, понимать свойства функций и графиков, а также чётко логически мыслить.

Формат ответа: Развёрнутое решение с полным обоснованием.
Уровень сложности: Высокий.
Максимальный балл: 4 первичных балла.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ встречаются следующие сюжеты:

Уравнения с параметром - сводятся к квадратному уравнению, теореме Виета или графику на плоскости.
Системы уравнений с параметром - чаще всего решаются графически (пересечение фигур).
Неравенства и уравнения с модулем - требуют аккуратного раскрытия случаев или построения графиков-«галочек».

Основные методы решения

Все задачи с параметром глобально делятся на два подхода: графический и аналитический.

ВАЖНОЕ

Аналитический метод: Квадратный трёхчлен

Если задача сводится к уравнению вида $ax^2 + bx + c = 0$ при $a \neq 0$ , всё зависит от дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ :

$D > 0$ - два корня.
$D = 0$ - один корень (условие касания).
$D < 0$ - нет корней. Помни про теорему Виета: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ , $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$ .

Важно: если коэффициент при $x^2$ зависит от параметра, отдельно разбери случай $a = 0$ - уравнение становится линейным.

ВАЖНОЕ

Условия Виета для расположения корней

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2$ часто требуется проверить не только их существование, но и их расположение:

Оба корня положительны: $D \geqslant 0$ , $x_1 + x_2 > 0$ , $x_1 \cdot x_2 > 0$ .
Оба корня отрицательны: $D \geqslant 0$ , $x_1 + x_2 < 0$ , $x_1 \cdot x_2 > 0$ .
Корни разных знаков: $x_1 \cdot x_2 < 0$ (при этом $D > 0$ автоматически).
Один из корней равен заданному числу $x_0$ : подставляем и получаем $a x_0^2 + b x_0 + c = 0$ .

Условие $d = R$ проще всего увидеть на горизонтальной прямой:

ВАЖНОЕ

Метод выражения параметра

Если в уравнении две переменные - $x$ и параметр $a$ , - попробуй выразить $a$ через $x$ :

F(x;\, a) = 0 \iff a = f(x)

После этого построй график функции $a = f(x)$ на плоскости $(x;\, a)$ . Горизонтальная прямая $a = \text{const}$ пересекает график в стольких точках, сколько корней имеет исходное уравнение при соответствующем значении параметра.

Преимущество метода: вместо движения прямой или окружности ты просто ищешь горизонтали на фиксированном графике. Это особенно удобно, когда параметр входит линейно.

ВАЖНОЕ

Распадающиеся уравнения: объединение графиков

Если уравнение сводится к виду $f(x;\, y) \cdot g(x;\, y) = 0$ , то оно распадается на совокупность:

f(x;\, y) \cdot g(x;\, y) = 0 \iff \left[\begin{array}{l} f(x;\, y) = 0 \\ g(x;\, y) = 0 \end{array}\right.

Графически это объединение двух фигур. Например, уравнение $(x^2 + y^2 - 9)(y - x) = 0$ задаёт объединение окружности радиуса $3$ и прямой $y = x$ : точка $(x;\, y)$ удовлетворяет уравнению тогда и только тогда, когда она лежит на окружности ИЛИ на прямой.

Если одно из уравнений системы распадается на множители, система тоже разбивается на несколько подсистем - решения нужно объединить.

ВАЖНОЕ

Свойства функций: симметрия и монотонность

Чётная функция: $f(-x) = f(x)$ . Если $x_0$ - корень уравнения, то и $-x_0$ тоже корень.

Следствие для задач на единственность: если функция в уравнении чётная по $x$ , то единственный корень возможен только при $x = 0$ (иначе будет пара симметричных корней).

Алгоритм «необходимо + достаточно»:

Подставляем $x = 0$ в уравнение и находим значения параметра $a$ (необходимое условие).
Для каждого найденного $a$ подставляем обратно в исходное уравнение и проверяем, действительно ли корень $x = 0$ единственный (достаточное условие).

То же работает и для симметрии относительно точки $x_0$ : если $f(2x_0 - x) = f(x)$ , то корни симметричны относительно $x_0$ , и «кандидат» на единственный корень - $x = x_0$ .

Монотонность: если $f$ строго монотонна (только возрастает или только убывает), то уравнение $f(x) = c$ имеет не более одного корня. Кроме того:

f(u) = f(v) \iff u = v

Это позволяет «скидывать» одинаковую функцию с обеих сторон уравнения.

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм работы с параметром

Определи метод. Если видишь уравнения окружностей, модули, суммы корней - пробуй графический метод на плоскости $(x;\, y)$ или $(x;\, a)$ . Если много дробей, показательных или логарифмических функций - используй замену и аналитический метод.
Запиши ограничения (ОДЗ). Знаменатели не равны нулю, подкоренные выражения неотрицательны, аргументы логарифмов положительны. Это отсечёт «лишние» корни.
Выполни преобразования. Упрости выражения, разложи на множители, построй графики статических (не зависящих от $a$ ) фигур.
Исследуй влияние параметра. Пойми, за что отвечает $a$ : сдвиг прямой вверх-вниз, изменение наклона прямой, изменение радиуса окружности.
Найди граничные (пограничные) состояния. Это моменты касания графиков, прохождение через края ОДЗ или вершины других фигур. Вычисли значения $a$ для этих моментов.
Собери ответ. Пройдись по всем возможным значениям $a$ от $-\infty$ до $+\infty$ и запиши те интервалы, которые удовлетворяют условию задачи.

Примеры решения

Разберём три примера: графический метод с полуокружностью, аналитический метод с дробью и графический с модулем.

Пример 1. Графический метод

Условие: Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $\sqrt{9 - x^2} = x + a$ имеет ровно один корень.

Переходим к системе на координатной плоскости

Перейдём к системе на координатной плоскости $(x;\, y)$ . Пусть левая часть равна $y$ , и правая часть равна $y$ :

\begin{cases} y = \sqrt{9 - x^2} \\ y = x + a \end{cases}

Исследуем первое уравнение

$y = \sqrt{9 - x^2}$ . Возведём в квадрат при условии $y \geqslant 0$ :

x^2 + y^2 = 9, \quad y \geqslant 0

Это уравнение задаёт верхнюю полуокружность с центром в начале координат $(0;\, 0)$ и радиусом $R = 3$ .

Исследуем второе уравнение

$y = x + a$ - это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k = 1$ (наклонены под углом $45^\circ$ к оси $X$ ). Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси $Y$ .

Ищем граничные положения

Прямая двигается снизу вверх (при увеличении $a$ ). Найдём значения $a$ в ключевых точках:

Прямая проходит через правую точку полуокружности $(3;\, 0)$ :

0 = 3 + a \implies a = -3

Прямая проходит через левую точку полуокружности $(-3;\, 0)$ :

0 = -3 + a \implies a = 3

Прямая касается полуокружности. Приравняем уравнения и найдём условие единственности корня через дискриминант:

\sqrt{9 - x^2} = x + a \implies 9 - x^2 = (x + a)^2 \implies 2x^2 + 2ax + a^2 - 9 = 0

Чтобы прямая касалась окружности, дискриминант должен быть равен нулю:

\frac{D}{4} = a^2 - 2(a^2 - 9) = a^2 - 2a^2 + 18 = 18 - a^2 = 0 \implies a = \pm 3\sqrt{2}

Так как нас интересует касание верхней полуокружности, берём $a = 3\sqrt{2}$ .

Считываем ответ по графику

Будем мысленно двигать прямую снизу вверх:

При $a < -3$ прямая проходит ниже полуокружности. Решений нет (0 корней).
При $a = -3$ прямая пересекает правый край. 1 корень.
При $-3 < a < 3$ прямая пересекает дугу в одной точке. 1 корень.
При $a = 3$ прямая проходит через левый край и пересекает дугу правее. 2 корня.
При $3 < a < 3\sqrt{2}$ прямая пересекает дугу дважды. 2 корня.
При $a = 3\sqrt{2}$ прямая касается дуги. 1 корень.
При $a > 3\sqrt{2}$ прямая проходит выше дуги. 0 корней.

Нас просят найти значения $a$ , при которых ровно один корень. Это промежуток от $-3$ (включительно) до $3$ (не включительно) и отдельно точка касания.

Ответ: $[-3;\, 3) \cup \{3\sqrt{2}\}$

Пример 2. Аналитический метод

Условие: Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $\dfrac{x^2 - (a+4)x + 4a}{x - 2} = 0$ имеет ровно один корень.

Сводим к смешанной системе

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Составим смешанную систему:

\begin{cases} x^2 - (a+4)x + 4a = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2 - (a+4)x + 4a = 0 \\ x \neq 2 \end{cases}

Находим корни числителя

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) можно заметить, что сумма корней равна $a+4$ , а произведение равно $4a$ . Корни уравнения: $x_1 = a$ и $x_2 = 4$ .

Разбираем случай совпадения корней

Исходное уравнение будет иметь ровно один корень в двух случаях: Случай 1. Корни числителя совпадают. Если $x_1 = x_2$ , то $a = 4$ . При этом единственный корень равен $4$ . Проверим знаменатель: $4 \neq 2$ - условие выполняется. Значит, $a = 4$ нам подходит.

Разбираем случай выколотого корня

Случай 2. Корни различны, но один из них «выкалывается» знаменателем. Это происходит, если один из корней равен $2$ . Корень $x_2 = 4$ никогда не равен $2$ . Корень $x_1 = a$ будет равен $2$ , если $a = 2$ . Проверим этот случай: при $a = 2$ числитель имеет корни $2$ и $4$ . Но так как $x \neq 2$ , корень $x = 2$ является посторонним. Остаётся единственный действительный корень $x = 4$ . Значит, $a = 2$ нам подходит.

Ответ: $a \in \{2;\, 4\}$

Пример 3. Графический метод: модуль и парабола

Условие: Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $|x^2 - 4| = a$ имеет ровно три корня.

Переходим к системе на координатной плоскости

Перейдём к системе на координатной плоскости $(x;\, y)$ :

\begin{cases} y = |x^2 - 4| \\ y = a \end{cases}

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков.

Строим график $y = |x^2 - 4|$

Сначала построим параболу $y = x^2 - 4$ : ветви вверх, вершина в точке $(0;\, -4)$ , нули в точках $x = \pm 2$ . Модуль «отражает» наверх ту часть графика, которая лежит ниже оси $X$ . Значит, кусок параболы на отрезке $(-2;\, 2)$ отразится и превратится в «горб» с максимумом $(0;\, 4)$ . Итог: у графика два минимума в точках $(\pm 2;\, 0)$ и локальный максимум в точке $(0;\, 4)$ .

Исследуем прямую $y = a$

Это горизонтальная прямая на высоте $a$ . Посчитаем количество пересечений с графиком в зависимости от значения $a$ :

$a < 0$ : прямая ниже графика - 0 корней.
$a = 0$ : прямая касается графика в точках $(\pm 2;\, 0)$ - 2 корня.
$0 < a < 4$ : прямая пересекает «горб» в двух точках и обе внешние ветви - 4 корня.
$a = 4$ : прямая проходит через вершину «горба» $(0;\, 4)$ и пересекает внешние ветви - 3 корня.
$a > 4$ : прямая пересекает только внешние ветви параболы - 2 корня.

Отбираем нужные значения

Ровно три корня получается единственный раз - при $a = 4$ .

Ответ: $a = 4$

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 19

Время выполнения: 30-40 минут.
Очерёдность: Оставь это задание на конец экзамена. Сначала реши первую часть, джентльменский набор (14, 16, 17) и, возможно, планиметрию/стереометрию.
Действуй по шагам: Даже если задача выглядит пугающе, начни преобразования. Раскрой модули, перенеси всё в одну сторону, найди ОДЗ.
Графики спасают: Если переменных только две ( $x$ и параметр $a$ ), попробуй выразить $a$ через $x$ и построить график функции $a(x)$ . Горизонтальные прямые $a = \text{const}$ покажут количество корней.

За что дают баллы

В задании 19 можно получить частичные баллы даже за незавершённое решение:

4 балла: Получен полностью правильный обоснованный ответ.
3 балла: Решение верное, но в финальном ответе допущена ошибка с одной граничной точкой (например, случайно включил точку касания, где количество корней меняется).
2 балла: Получен правильный промежуток, но пропущены какие-то важные изолированные точки, ИЛИ допущена вычислительная ошибка на правильном пути решения.
1 балл: Задача верно сведена к исследованию (например, правильно нарисованы все графики и показано, что нужно искать, или получено квадратное уравнение с правильными условиями на дискриминант), но дальше дело не пошло.
0 баллов: Решение не продвинулось дальше простых преобразований.

Обязательно пробуй начинать решать задачу 19 - забрать 1 или 2 балла здесь вполне реально даже без "олимпиадного" опыта!

Проверь себя

Уравнение $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ задаёт на плоскости:
Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности до прямой:
Функция в уравнении чётная по $x$ . При каком $x$ возможен единственный корень?
Сколько корней имеет уравнение $|x^2 - 4| = a$ при $0 < a < 4$ ?

Задание 19: Задача с параметром

О задании

Какие темы встречаются

Основные методы решения

Общий алгоритм решения

Примеры решения

Переходим к системе на координатной плоскости

Исследуем первое уравнение

Исследуем второе уравнение

Ищем граничные положения

Считываем ответ по графику

Сводим к смешанной системе

Находим корни числителя

Разбираем случай совпадения корней

Разбираем случай выколотого корня

Переходим к системе на координатной плоскости

Строим график y=∣x2−4∣y = |x^2 - 4|y=∣x2−4∣

Исследуем прямую y=ay = ay=a

Отбираем нужные значения

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

За что дают баллы

Строим график $y = |x^2 - 4|$

Исследуем прямую $y = a$