Задачи на движение по воде

Задачи на движение по воде (Задание 11)

Тема «Движение по воде» даёт примерно каждую третью задачу в номере 11 - это самый популярный сюжет этого задания. По реке или озеру плывёт лодка, катер, теплоход или плот; нужно учесть скорость течения, связать путь, скорость и время, составить уравнение и решить его.

Основные формулы

Все задачи на движение строятся вокруг одной главной формулы.

В воде скорость объекта зависит от направления движения относительно течения:

Алгоритм решения

В 99% случаев задача на движение по воде идеально решается через таблицу.

Слова-маркеры в тексте

Обращай внимание на эти фразы, они чётко указывают, как составлять уравнение:

• «Затратил на обратный путь на 4 часа меньше» $\implies$ вычитай из большего времени меньшее: $t_{\text{больше}} - t_{\text{меньше}} = 4$. (Подсказка: где скорость меньше, там время больше!)
• «После стоянки в 3 часа возвращается через 15 часов» $\implies$ теплоход двигался только $15 - 3 = 12$ часов. Уравнение: $t_{\text{туда}} + t_{\text{обратно}} = 12$.
• «Затратил столько же времени» $\implies$ приравняй время на разных участках: $t_1 = t_2$.
• «Встретились через $t$ часов» $\implies$ складывай скорости сближения. Если один объект плывёт по течению, а другой навстречу - их относительная скорость равна $(v_1 + v_{\text{теч}}) + (v_2 - v_{\text{теч}}) = v_1 + v_2$, течение сокращается.

Подтипы задач

В номере 11 встречаются четыре типовых сценария движения по воде:

1. Туда и обратно со стоянкой. Даны полное время отсутствия и длительность стоянки - вычитаешь одно из другого и получаешь время в движении.
2. Разница во времени. Обратный путь занял на $k$ часов меньше (или больше). Уравнение строится как разность двух дробей.
3. Равное время. На обратном пути скорость лодки изменилась (или появилась остановка), но время получилось такое же. Приравниваешь две дроби и находишь скорость.
4. Встреча или догонка на реке. Два объекта выходят навстречу (или вдогонку) по одной и той же реке. В формуле сближения скорости течения у них складываются с разными знаками, поэтому часто взаимно сокращаются - итоговая относительная скорость зависит только от собственных скоростей.

Примеры решения

Три задачи - от классической «туда-обратно со стоянкой» к ловушке с вопросом.

Пример 1. Классическая задача со стоянкой

Условие: Моторная лодка проходит по течению реки до пункта назначения 120 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления лодка возвращается через 11 часов. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Реальное время лодки в движении. Она отсутствовала 11 часов, но 2 часа стояла: $t_{\text{движения}} = 11 - 2 = 9$ часов.

2. Пусть $x$ - собственная скорость лодки (км/ч), $x > 3$. Заполним таблицу:

Направление	$S$ (км)	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)
По течению	$120$	$x + 3$	$\dfrac{120}{x + 3}$
Против течения	$120$	$x - 3$	$\dfrac{120}{x - 3}$

3. Суммарное время в пути равно 9 часам:

$$\dfrac{120}{x + 3} + \dfrac{120}{x - 3} = 9$$

4. Сначала удобно разделить обе части на 3:

$$\dfrac{40}{x + 3} + \dfrac{40}{x - 3} = 3$$

Приводим левую часть к общему знаменателю:

$$\dfrac{40(x - 3) + 40(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 3$$

$$\dfrac{80x}{x^2 - 9} = 3$$

5. Умножаем крест-накрест (при $x > 3$ знаменатель ненулевой):

$$3(x^2 - 9) = 80x \iff 3x^2 - 80x - 27 = 0$$

6. Считаем дискриминант через $\dfrac{D}{4}$ (второй коэффициент чётный, $k = -40$):

$$\dfrac{D}{4} = k^2 - ac = 1600 - 3 \cdot (-27) = 1681 = 41^2$$

$$x = \dfrac{40 \pm 41}{3}$$

Отрицательный корень $x = -\dfrac{1}{3}$ отбрасываем, остаётся $x = \dfrac{81}{3} = 27$.

Проверка: $\dfrac{120}{30} + \dfrac{120}{24} = 4 + 5 = 9$. Сошлось.

Ответ: 27

Пример 2. Разница во времени

Условие: Катер прошёл против течения реки 140 км и вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 12 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

В задачах ЕГЭ часто бывают «ловушки» с вопросом. Иногда просят найти не скорость, а пройденный путь.

Пример 3. Ловушка с пройденным расстоянием

Условие: Теплоход, собственная скорость которого равна 24 км/ч, проходит некоторое расстояние по реке и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отправления. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?

Частые ошибки

Что запомнить

1. Всегда рисуй таблицу $S, v, t$. Это исключает $90\%$ ошибок при составлении уравнения.
2. В столбце $t$ всегда должны стоять дроби $\dfrac{S}{v}$.
3. В уравнении на разницу времени всегда вычитай из бóльшей дроби (где знаменатель меньше) меньшую дробь (где знаменатель больше).
4. Озеро = нет течения. Плот = нет собственной скорости.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Собственная скорость лодки 15 км/ч, скорость течения 3 км/ч. С какой скоростью лодка плывёт против течения?
   • $18$ км/ч
   • $12$ км/ч
   • $15$ км/ч
   • $5$ км/ч
2. С какой скоростью плывёт плот по реке, если скорость течения равна 2 км/ч?
   • $2$ км/ч
   • $0$ км/ч
   • $4$ км/ч
   • Зависит от массы плота
3. Теплоход отправился в рейс туда и обратно, стоянка длилась 2 часа, а вернулся он через 11 часов после отправления. Сколько часов теплоход был в движении?
   • $11$
   • $9$
   • $13$
   • $2$
4. Катер затратил на обратный путь (по течению) на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Какое уравнение верно?
   • $t_{\text{против}} - t_{\text{по}} = 4$
   • $t_{\text{по}} - t_{\text{против}} = 4$
   • $t_{\text{по}} + t_{\text{против}} = 4$
   • $t_{\text{по}} = t_{\text{против}}$

Проверить