Классическое определение вероятности

Задание 4. Классическое определение вероятности

В задании 4 ЕГЭ по математике проверяется умение решать самые простые задачи на теорию вероятностей. В отличие от задания 5, где встречаются сложные конструкции с несколькими событиями (совместными, независимыми), здесь всё сводится к одной базовой формуле. Задания этого типа обычно описывают броски кубиков, жеребьёвки спортсменов, вытаскивание билетов на экзамене или выбор бракованных сумок на фабрике и т. д.

Суть темы

Вероятность - это числовая мера того, насколько возможно наступление какого-либо события. В классической модели мы предполагаем, что все возможные исходы эксперимента (например, выпадение граней кубика) равновозможны (равновероятны). То есть ни у одного исхода нет преимущества перед другими.

Если нас интересует какое-то конкретное событие (назовём его $A$), то его вероятность обозначается как $P(A)$.

Основные формулы

Главный инструмент для решения задания 4 - классическое определение вероятности.

Вероятность - это всегда доля. Из этого вытекают два строгих правила:

1. Вероятность не может быть меньше нуля или больше единицы: $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$.
2. Достоверное событие (которое произойдёт точно) имеет вероятность $1$. Невозможное событие имеет вероятность $0$.

Часто задачу проще решить от обратного. Для этого используется понятие противоположного события (обозначается как $\bar{A}$). Это событие, при котором $A$ не наступает.

Алгоритм решения

Чтобы не запутаться в условиях, всегда действуй по одному и тому же плану.

Примеры решения

Разберём типичные задачи от самых базовых до тех, где требуется аккуратно посчитать исходы.

Пример 1. Жеребьёвка

На школьном концерте выступают $40$ учеников: $9$ из $10$А, $11$ из $10$Б, остальные из $10$В. Очерёдность выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым выступит ученик из $10$В.

Решение:

1. Общее число учеников $n = 40$.
2. Найдём число учеников из 10В: $m = 40 - 9 - 11 = 20$.
3. Найдём вероятность:
   $$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{20}{40} = 0{,}5$$

Ответ: $0{,}5$

Пример 2. Выбор группы

В спортивной секции $15$ человек. Тренер случайным образом выбирает $3$ человек для участия в эстафете. Какова вероятность того, что спортсмен К. окажется в числе выбранных?

Решение: Представь, что в мешке лежат $15$ жетонов, на $3$ из которых написано "участвует в эстафете". Спортсмен К. вытягивает один жетон.

1. Общее количество жетонов (исходов): $n = 15$.
2. Количество "выигрышных" жетонов (благоприятных исходов): $m = 3$.
3. Считаем вероятность:
   $$P = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$$

Ответ: $0{,}2$

Иногда в задаче проще сначала найти вероятность брака, а потом вычесть её из единицы.

Пример 3. Противоположные события

На складе $125$ ноутбуков. Известно, что у $15$ из них есть дефект батареи. Покупатель выбирает один ноутбук наугад. Найдите вероятность того, что он окажется исправным.

Решение: Здесь можно пойти двумя путями. Первый способ (прямой): Найти количество исправных ноутбуков ($125 - 15 = 110$) и разделить на общее количество ($P = \dfrac{110}{125}$).

Второй способ (через противоположное событие):

1. Найдём вероятность того, что ноутбук с дефектом (событие $A$). $m = 15$ (дефектные), $n = 125$ (всего).
   $$P(A) = \dfrac{15}{125}$$
   Сократим дробь на $5$: $P(A) = \dfrac{3}{25}$. Умножим на $4$, чтобы получить сотые: $\dfrac{12}{100} = 0{,}12$.
2. Нам нужна вероятность того, что ноутбук исправен (событие $\bar{A}$). Вычтем из единицы:
   $$P(\bar{A}) = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$$

Ответ: $0{,}88$

Самый сложный подтип в 4 задании - это задачи на игральные кости с дополнительным условием.

Когда эксперимент повторяется дважды (например, кубик бросают два раза), каждый исход - это пара (результат первого броска, результат второго). Пара $(2, 5)$ и пара $(5, 2)$ - это разные исходы. Чтобы найти общее число таких пар, нужно перемножить число вариантов для каждого броска: $6 \cdot 6 = 36$.

В некоторых задачах дополнительно происходит сужение пространства исходов - часть пар исключается по условию.

Пример 4. Броски игральной кости с условием

Игральную кость бросили два раза. Известно, что в обоих бросках выпало больше одного очка. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 7».

Частые ошибки

Что запомнить

• Вероятность - это всегда «наши» делить на «всех».
• При жеребьёвке вероятность оказаться на первом, последнем или любом другом конкретном месте абсолютно одинакова.
• Если в задаче сказано «известно, что событие Х не произошло», нужно физически выбросить эти исходы из общего количества $n$. Общее число комбинаций уменьшится.
• Если при делении получается бесконечная дробь (например, $0{,}333...$), остановись. В первой части ЕГЭ ответ всегда конечный. Ищи ошибку в выборе чисел для $m$ и $n$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Чему равна вероятность события $A$ по классическому определению?
   • $P(A) = \dfrac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных исходов
   • $P(A) = \dfrac{n}{m}$, где $n$ — общее число исходов, $m$ — число благоприятных
   • $P(A) = m \cdot n$
2. В классе 25 учеников, из них 10 мальчиков. Жребием выбирают одного дежурного. Какова вероятность, что это будет девочка?
   • $0{,}6$
   • $0{,}4$
   • $0{,}15$
3. Кубик бросают два раза. Сколько всего равновозможных исходов (упорядоченных пар)?
   • $36$
   • $12$
   • $21$
4. Вероятность того, что деталь бракованная, равна $0{,}03$. Какова вероятность, что случайно выбранная деталь исправна?
   • $0{,}97$
   • $0{,}03$
   • $0{,}7$

Проверить