Кредиты по графику долга

Содержание

Кредиты по графику долга (Задание 13)
Платёж вычисляется, а не задаётся
Схема (а): долг задан долями кредита
Примеры: долг задан таблицей
Схема (б): часть платежей названа числом
Схема (в): сначала платят только проценты
Частые ошибки
Что запомнить

Кредиты по графику долга (Задание 13)

В темах «Кредиты с равными платежами» и «Кредиты с дифференцированными платежами» условие задаёт правило для выплат, а долг приходится выводить. Здесь всё наоборот: условие прямо показывает, каким должен быть остаток долга в каждый момент, - таблицей, долями кредита или фразой «первые два платежа по $300\,000$ ». Платёж перестаёт быть неизвестным: он вычисляется из двух соседних значений долга. Из-за этого тема получается самой механической в номере: ни геометрических, ни арифметических прогрессий, только цепочка «умножили на коэффициент, вычли платёж» и аккуратность.

Платёж вычисляется, а не задаётся

Внутри года порядок действий тот же, что и во всём номере 13: сначала банк начисляет процент на остаток, потом заёмщик вносит платёж. Обозначим через $D_k$ долг на конец $k$ -го года ( $D_0 = S$ - выданная сумма), через $r_k$ - ставку этого года.

Один год: долг вошёл, вырос на процент, уменьшился платежом

Схема (а): долг задан долями кредита

Самая частая постановка: сумма кредита обозначена буквой $S$ , а таблица показывает остаток долга долями от неё. Тогда каждый платёж - тоже доля от $S$ , и вся сумма выплат оказывается пропорциональна $S$ .

Остаток долга падает ступенями: S, 0,8S, 0,4S, ноль

Неравенство и целое $S$

Вопрос почти всегда один: «найдите наибольшее (наименьшее) целое $S$ , при котором сумма выплат не превысит (превысит) заданную величину». Получается неравенство $cS \leqslant A$ или $cS > A$ , а из него - дробная граница, которую надо округлить в правильную сторону.

Граница дробная, а ответ целый: округление в нужную сторону

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Округление не туда - самая дорогая ошибка темы

Наибольшее $S$ при условии «сумма выплат не превысит $A$ »: граница $S \leqslant \dfrac{A}{c}$ , ответ - целая часть, то есть округление вниз. Из $S \leqslant 11{,}53\ldots$ выходит $11$ , а не $12$ .

Наименьшее $S$ при условии «сумма выплат превысит $A$ »: граница $S > \dfrac{A}{c}$ , ответ - округление вверх. Из $S > 15{,}03\ldots$ выходит $16$ , а не $15$ .

Обычные правила округления тут не работают вообще: дробная часть $0{,}538$ не даёт права округлить вверх. Проверка занимает двадцать секунд - подставь свой ответ и соседнее целое: одно обязано условию удовлетворять, другое нет. Подходят оба - округлил не в ту сторону.

АЛГОРИТМ

Алгоритм для схемы с таблицей долга

Выпиши таблицу остатков в долях $S$ , включая $D_0 = S$ и последний ноль.
Посчитай платежи по формуле $P_k = D_{k-1}\left(1 + \dfrac{r_k}{100}\right) - D_k$ . Ставки могут быть разными по годам - бери ставку того года, к которому относится платёж.
Сложи платежи и получи коэффициент $c$ : сумма выплат равна $cS$ .
Составь неравенство $cS \leqslant A$ или $cS > A$ - в точности по словам условия.
Округли в нужную сторону и проверь ответ на соседнем целом.

Примеры: долг задан таблицей

Пример 1. Наибольшее целое

S

Условие: В июле планируется взять в банке кредит на сумму $S$ млн рублей, где $S$ - целое число. Условия возврата таковы: каждый январь долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга. Остаток долга на конец каждого года задан таблицей.

Момент	июль (выдача)	конец 1-го года	конец 2-го года
Долг	$S$	$0{,}5S$	$0$

Найдите наибольшее значение $S$ , при котором общая сумма выплат не превысит $15$ млн рублей.

Пример 2. Наименьшее целое

S

Условие: Кредит на сумму $S$ млн рублей ( $S$ - целое число) взят на три года. В начале каждого года остаток долга увеличивается на $15\%$ , после чего заёмщик вносит годовой платёж. Остаток долга на конец каждого года задан таблицей.

Год	0	1	2	3
Долг	$S$	$0{,}8S$	$0{,}4S$	$0$

Найдите наименьшее значение $S$ , при котором общая сумма выплат превысит $20$ млн рублей.

ЗАМЕЧАНИЕ

Ставка может меняться по годам

Общая формула это выдерживает без изменений: ставка $r_k$ относится к промежутку между $D_{k-1}$ и $D_k$ , то есть к тому году, в который вошли с долгом $D_{k-1}$ . Для таблицы $S \to 0{,}8S \to 0{,}5S \to 0{,}2S \to 0$ при ставках $25\%$ , $20\%$ , $15\%$ , $10\%$ платежи равны $0{,}45S$ , $0{,}46S$ , $0{,}375S$ , $0{,}22S$ , сумма выплат - $1{,}505S$ , и условие «выплаты не превысят $45$ млн» даёт наибольшее целое $S = 29$ . Выписывай ставку прямо над стрелкой перехода - тогда сдвиг на год станет невозможным.

Схема (б): часть платежей названа числом

Вторая постановка выглядит иначе: сумма кредита известна, первые платежи заданы рублями, а последний «полностью погашает долг». Долей $S$ тут нет - есть обычная цепочка чисел. Веди её таблицей из трёх колонок, и ошибиться будет негде.

Таблица хода долга: до начисления, после начисления, после платежа

СОВЕТ

Три колонки - три разные величины

«До начисления» - то, с чем вошли в год. «После начисления» - умножили на коэффициент. «После платежа» - вычли выплату; это же число переходит в первую колонку следующей строки. Большинство ошибок в теме - это платёж, вычтенный из долга до начисления процентов.

Если известен конец цепочки, а спрашивают сумму кредита, таблица читается снизу вверх: $D_{k-1} = \dfrac{D_k + P_k}{1 + \dfrac{r}{100}}$ - прибавь платёж и раздели на коэффициент.

Пример 3. Последний платёж

Условие: В июле планируется взять кредит $750\,000$ рублей на три года. Условия возврата таковы: каждый январь долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь вносится очередной платёж. Первые два платежа равны $300\,000$ рублей каждый, а третий платёж полностью погашает долг. Найдите величину третьего платежа.

Ведём таблицу по годам

Коэффициент $k = 1{,}2$ .

Год	Долг до начисления	После начисления	После платежа
1	$750\,000$	$900\,000$	$600\,000$
2	$600\,000$	$720\,000$	$420\,000$
3	$420\,000$	$504\,000$	$0$

Читаем последнюю строку

В третий январь долг вырос до $420\,000 \cdot 1{,}2 = 504\,000$ ; третий платёж гасит его полностью, значит он равен $504\,000$ рублей.

Проверяем здравым смыслом

Всего выплачено $300\,000 + 300\,000 + 504\,000 = 1\,104\,000$ рублей при кредите $750\,000$ - переплата около $47\%$ за три года под $20\%$ . Правдоподобно: первые платежи маленькие, поэтому долг гасился медленно.

Ответ: 504000

Пример 4. Обратная задача: идём с конца

Условие: Кредит взят на четыре года. В начале каждого года остаток долга увеличивается на $10\%$ , после чего вносится годовой платёж. Первые три платежа равны $250\,000$ рублей каждый, а четвёртый платёж, равный $261\,030$ рублям, полностью погашает долг. Какую сумму взяли в кредит?

Схема (в): сначала платят только проценты

Третья постановка: несколько лет заёмщик вносит ровно столько, сколько начислено, и долг не меняется. Потом начинается обычное погашение.

ВАЖНОЕ

Платёж «только проценты»

Если долг на конец года остался прежним, $D_k = D_{k-1}$ , то по общей формуле

P_k = D_{k-1}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) - D_{k-1} = \dfrac{r}{100} \cdot D_{k-1}

Такой платёж не гасит тело долга ни на рубль - он лишь оплачивает пользование деньгами. Дальше задача распадается надвое: посчитать платежи-проценты за первые годы и решить обычный кредит с равными платежами для оставшегося срока - там работает уравнение из темы «Кредиты с равными платежами».

Долг стоит на месте, пока платят только проценты

Пример 5. Два года только проценты, потом два равных платежа

Условие: Предприятие взяло кредит $1\,210\,000$ рублей под $20\%$ годовых: в начале каждого года остаток долга увеличивается на $20\%$ , после чего вносится платёж. В первые два года предприятие выплачивало только начисленные проценты, поэтому долг оставался равным $1\,210\,000$ рублей. В третий и четвёртый годы долг был погашен двумя равными платежами. Найдите переплату по кредиту, то есть на сколько рублей общая сумма выплат больше суммы кредита.

Частые ошибки

Что запомнить

Платёж здесь не неизвестная, а разность: $P_k = D_{k-1}\left(1 + \dfrac{r_k}{100}\right) - D_k$ .
Если долг задан долями $S$ , то и сумма выплат - доля от $S$ : $cS$ . Вся задача сводится к одному неравенству.
«Наибольшее» при ограничении сверху - округление вниз; «наименьшее» при ограничении снизу - округление вверх. Проверять обязательно на соседнем целом.
Если платежи заданы числами, веди таблицу «до начисления / после начисления / после платежа»; обратный ход - прибавить платёж и разделить на коэффициент.
Платёж, равный начисленным процентам, оставляет долг неизменным: $P = \dfrac{r}{100} \cdot D$ . Сумма всех выплат всегда больше суммы кредита - это первая проверка любого ответа.

СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: $5$ - $8$ минут. Длинных формул нет, но цепочка требует аккуратности - считай столбиком, а не в уме.
Единицы: если условие в миллионах, считай в миллионах до самого конца. Перевод в рубли посреди решения - источник лишних нулей.
Доли до последнего шага. Коэффициент $c$ ищется в долях $S$ ; число подставляется один раз, в неравенстве.
Проверка соседним целым обязательна во всех задачах на наибольшее/наименьшее $S$ : она ловит и ошибку округления, и ошибку в коэффициенте.
Формат ответа: целое число без пробелов и без слова «рублей» или «млн».

Проверь себя

Долг задан таблицей $S \to 0{,}6S \to 0$ , ставка $10\%$ в год. Чему равен первый платёж?
Общая сумма выплат равна $1{,}4S$ млн рублей, $S$ - целое. Найдите наибольшее $S$ , при котором выплаты не превысят $10$ млн.
Общая сумма выплат равна $1{,}6S$ млн рублей, $S$ - целое. Найдите наименьшее $S$ , при котором выплаты превысят $20$ млн.
Заёмщик вносит платёж, в точности равный начисленным за год процентам. Что происходит с долгом?
Кредит $500\,000$ рублей под $20\%$ ; в начале года долг растёт, затем вносится платёж $200\,000$ рублей. Каким будет остаток долга на конец первого года?

Кредиты по графику долга

Кредиты по графику долга (Задание 13)

Платёж вычисляется, а не задаётся