Тригонометрические функции

Находим серединную линию $c$

Максимальное значение графика $y_{\max} = 3$, минимальное $y_{\min} = -1$. Серединная линия: $c = \dfrac{3 + (-1)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$. Действительно, если провести прямую $y = 1$, она разрежет волну ровно пополам.

Находим амплитуду $a$

Амплитуда - это расстояние от серединной линии до максимума: $a = y_{\max} - c = 3 - 1 = 2$. Проверим знак: стандартный синус выходит из нуля и идёт вверх. Наш график выходит из точки $(0; 1)$ (которая лежит на серединной линии) и тоже идёт вверх. График не перевёрнут, значит, коэффициент $a$ положительный.

Серединная линия $c$

По условию она проходит на уровне $y = 6$, следовательно, $c = 6$.

Амплитуда $a$

Максимум равен $13$. Амплитуда равна разности между максимумом и серединной линией: $a = 13 - 6 = 7$. Так как по условию $a > 0$, берём $a = 7$.

Горизонтальный сдвиг $b$

Функция косинуса достигает максимума, когда её аргумент равен нулю (ведь $\cos 0 = 1$). В точке максимума $x = \dfrac{5\pi}{6}$ выражение внутри косинуса должно обнуляться: $x - b = 0 \implies \dfrac{5\pi}{6} - b = 0 \implies b = \dfrac{5\pi}{6}$.

Восстанавливаем функцию

$f(x) = 7 \cos\left(x - \dfrac{5\pi}{6}\right) + 6$.

Вычисляем значение в точке $x = \dfrac{7\pi}{3}$

Приведём дробь к знаменателю 6: $x = \dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{14\pi}{6}$. Подставим в функцию:

Сократим дробь на 3: $\dfrac{9\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{2}$. Табличное значение $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0$. Считаем итоговый результат: $f\left(\dfrac{7\pi}{3}\right) = 7 \cdot 0 + 6 = 6$.

Определяем период

Обрати внимание: на оси $X$ стоят обычные целые числа, а не радианы с $\pi$. Это следствие того, что переменная $x$ умножается на $\pi$ прямо внутри аргумента синуса. Период такой функции равен $T = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$.

Находим $d$

Определим максимумы и минимумы по узлам координатной сетки. Максимум достигается на высоте $y = 4$, минимум на высоте $y = -2$. Серединная линия: $d = \dfrac{4 + (-2)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$.

Находим $a$

Размах от серединной линии $y=1$ до максимума $y=4$ составляет $3$ единицы. Значит, $|a| = 3$. Важный нюанс: из точки пересечения с осью $Y$ $(0; 1)$ график сначала идёт вниз, в отрицательную область относительно серединной линии (достигает минимума в $x=0{,}5$). Стандартный график синуса $\sin(x)$ из нуля идёт вверх. Значит, наш график перевёрнут (отражён вдоль серединной линии), и коэффициент $a$ должен быть отрицательным: $a = -3$.

Записываем функцию

$f(x) = -3 \sin(\pi x) + 1$.

Вычисляем $f(2{,}5)$

Подставим $x = 2{,}5$: $f(2{,}5) = -3 \sin(2{,}5\pi) + 1$. Преобразуем угол, выделив целое число периодов ($2\pi$): $2{,}5\pi = 2\pi + 0{,}5\pi = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}$. Период можно отбросить: $\sin\left(2\pi + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$. Выполняем финальный расчёт: $-3 \cdot 1 + 1 = -2$.