Показательное распределение

Показательное распределение (Задание 6)

Показательным (его же называют экспоненциальным) распределением описывают время до случайного события, которое ничем не подготовлено заранее: срок службы лампы, время до отказа насоса или банкомата, промежуток между звонками на горячую линию, время ожидания ответа оператора. Если в условии задания 6 сказано «время безотказной работы имеет показательное распределение» или прямо выписана плотность вида $\lambda e^{-\lambda x}$ - это наш сюжет.

Хорошая новость: весь счёт первой части здесь держится на двух выражениях и одном приёме со степенью. Длинных выкладок не будет.

Плотность, «хвост» и функция распределения

Из плотности получаются два выражения, которыми и решают задачи. Первое отвечает на вопрос «событие уже произошло?», второе - на вопрос «дожил ли?».

Приём, который решает половину задач: степень вместо экспоненты

В первой части ЕГЭ нельзя пользоваться калькулятором, поэтому само число $\lambda$ в задачах на «дожитие» находить не нужно и не требуется. Достаточно заметить, что $e^{-\lambda x}$ - это степень.

Читать правило удобнее словами: каждый следующий промежуток той же длины умножает вероятность выживания на одно и то же число. Прожить два срока - значит прожить первый и потом ещё один такой же, а вероятности перемножаются.

Отсутствие последействия

Алгоритм решения

Примеры решения

Пример 1. Характеристики по плотности

Условие: Время ожидания ответа оператора службы поддержки (в минутах) имеет показательное распределение с плотностью $f(t) = 0{,}2e^{-0{,}2t}$ при $t \geqslant 0$ и $f(t) = 0$ при $t < 0$. Найдите математическое ожидание времени ожидания. Ответ дайте в минутах.

Пример 2. Целая степень

Условие: Срок службы светодиодной лампы имеет показательное распределение. Вероятность того, что лампа проработает более $1000$ часов, равна $0{,}8$. Найдите вероятность того, что лампа проработает более $3000$ часов.

Пример 3. Дробная степень - корень

Условие: Время безотказной работы банкомата имеет показательное распределение. Вероятность того, что банкомат проработает без сбоя более $10$ суток, равна $0{,}64$. Найдите вероятность того, что он проработает без сбоя более $5$ суток.

Пример 4. Прибор уже отработал

Условие: Время безотказной работы насоса имеет показательное распределение. Вероятность того, что новый насос проработает без отказа более $6$ месяцев, равна $0{,}9$. Насос уже отработал $12$ месяцев без отказа. Найдите вероятность того, что он проработает без отказа ещё более $18$ месяцев.

Пример 5. Вопрос про «не более»

Условие: Время ремонта устройства в мастерской имеет показательное распределение, в среднем ремонт занимает $20$ минут. Найдите вероятность того, что очередной ремонт займёт не более $20$ минут. Считайте, что $e^{-1} = 0{,}37$.

Частые ошибки

Что запомнить

• Плотность $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ при $x \geqslant 0$; высота на старте равна $\lambda$, площадь под всей кривой равна $1$.
• $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ - «дожил», $P(X \leqslant t) = 1 - e^{-\lambda t}$ - «уже произошло». Эти два числа в сумме дают $1$.
• $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$, $D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$, $\sigma(X) = \dfrac{1}{\lambda}$; среднее и стандартное отклонение совпадают.
• Правило степени: $P(X > kt) = \bigl(P(X > t)\bigr)^{k}$. Для $k$ целого - степень, для $k = \dfrac{1}{2}$ - квадратный корень.
• Отсутствие последействия: уже отработанное время вычёркивается, остаётся только добавка.

Проверь себя

1. Плотность величины равна $f(x) = 0{,}5e^{-0{,}5x}$ при $x \geqslant 0$. Чему равно $E(X)$?
   • $2$
   • $0{,}5$
   • $4$
   • $0{,}25$
2. Известно, что $P(X > 3) = 0{,}6$. Чему равно $P(X > 9)$?
   • $0{,}216$
   • $1{,}8$
   • $0{,}36$
   • $0{,}2$
3. Прибор с показательным сроком службы отработал $5$ лет. Чему равна вероятность того, что он проработает ещё более $2$ лет?
   • Такой же, как вероятность нового прибора проработать более $2$ лет
   • Вероятности нового прибора проработать более $7$ лет
   • Вероятности нового прибора проработать более $3$ лет
   • Она меньше, потому что прибор износился
4. Какое равенство верно для показательного распределения?
   • $\sigma(X) = E(X)$
   • $\sigma(X) = \bigl(E(X)\bigr)^2$
   • $\sigma(X) = 2E(X)$
   • $\sigma(X) = D(X)$

Проверить