Тригонометрические уравнения, разные задачи

Раскрываем косинус суммы

Применим формулу косинуса суммы к первой скобке:

Подставим это в исходное уравнение, умножив на $2$:

Упрощаем и раскладываем на множители

Перенесём всё влево. Заметим, что $\cos x$ взаимно уничтожается:

Применим формулу синуса двойного угла:

Вынесем общий множитель $\sqrt{3}\sin x$ за скобки:

Решаем простейшие уравнения

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Из первого уравнения: $x = \pi k, \quad k \in \ZZ$. Из второго уравнения: $\cos x = \dfrac{1}{2} \implies x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \ZZ$.

Отбираем корни на отрезке

Отберём корни с помощью тригонометрической окружности.

1. Отметим границы отрезка $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\, -\pi\right]$. Точка $-\dfrac{5\pi}{2}$ находится внизу (это $-2{,}5\pi$), а точка $-\pi$ - слева. Выделяем дугу от меньшего значения к большему против часовой стрелки.
2. Отметим полученные серии корней на окружности.

3. Вычислим значения корней, попавших на дугу:

• Серия $x = \pi k$ даёт две точки на краях горизонтальной оси: $x_1 = -2\pi$ и $x_2 = -\pi$. (Обе попадают в отрезок).

• Точка в I четверти: к ближайшей горизонтальной точке $-2\pi$ прибавляем угол: $-2\pi + \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{5\pi}{3}$.

• Точка в IV четверти: от ближайшей горизонтальной точки $-2\pi$ вычитаем угол: $-2\pi - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{7\pi}{3}$.

Ответ: а) $\pi k;\, \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad k,\, n \in \ZZ$. б) $-\dfrac{7\pi}{3};\, -2\pi;\, -\dfrac{5\pi}{3};\, -\pi$.

Упрощаем по формуле приведения

Упростим формулу приведения и вынесем множитель из-под корня. Угол $(\pi + x)$ лежит в III четверти. Косинус там отрицательный, опорная ось $\pi$ горизонтальная - значит, функция сохраняется. Поэтому $\cos(\pi + x) = -\cos x$. Также $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Подставим и перенесём всё в левую часть:

Группируем и раскладываем на множители

Раскроем синус двойного угла:

Перед нами четыре слагаемых - верный признак метода группировки. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвёртым:

Вынесем общую скобку:

Решаем простейшие уравнения

Приравняем каждый множитель к нулю: $\sin x = \dfrac{1}{2} \implies x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{и} \quad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \ZZ$. $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \ZZ$.

Заметь: серия $\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$ повторяется в обоих случаях - в ответе её достаточно указать один раз.

Отбираем корни на отрезке

1. Отрезок $\left[2\pi;\, \dfrac{7\pi}{2}\right]$ - от $2\pi$ (правая точка оси абсцисс) до $\dfrac{7\pi}{2} = 3{,}5\pi$ (нижняя точка оси ординат). Штрихуем дугу против часовой стрелки: она проходит через I, II и III четверти.

2. Проверим каждую серию корней:

• Точка $\dfrac{\pi}{6}$ (в I четверти): её представитель на дуге - $2\pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{13\pi}{6}$.

• Точка $\dfrac{5\pi}{6}$ (во II четверти): $2\pi + \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{17\pi}{6}$.

• Точка $-\dfrac{5\pi}{6}$ (в III четверти, она же $\dfrac{7\pi}{6}$): $-\dfrac{5\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{19\pi}{6}$.

• Следующий представитель серии $\dfrac{\pi}{6}$ - это $\dfrac{\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{25\pi}{6} \approx 4{,}17\pi$, уже правее правой границы $3{,}5\pi$.

Ответ: а) $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\, \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k;\, -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k,\, n \in \ZZ$. б) $\dfrac{13\pi}{6};\, \dfrac{17\pi}{6};\, \dfrac{19\pi}{6}$.