Дифференцирование - дорога в одну сторону: по функции считают производную. Первообразная разворачивает её обратно: дана скорость изменения, надо восстановить саму величину. В задании 9 из этого выросли два сюжета: вычислить разность F(b)−F(a) (иногда прямо по рисунку) и найти площадь фигуры, ограниченной графиком и осью абсцисс. Наклон касательной и чтение графика f′(x) разобраны в соседних конспектах задания 9 - здесь та же связка «функция и производная», только прочитанная в обратную сторону.
Определение и семейство первообразных
Таблица первообразных
Формула Ньютона - Лейбница и площадь
Вообще же определённый интеграл - это площадь со знаком: выше оси абсцисс площадь входит в него со знаком плюс, ниже - со знаком минус. Поэтому площадь и интеграл не синонимы: площадь неотрицательна всегда, а для графика, лежащего под осью, S=−∫abf(x)dx. Знак стоит проверять до вычислений, а не после.
Интеграл по рисунку
Отдельный жанр номера: график f(x) состоит из отрезков и лучей, формулы нет, а просят вычислить интеграл или разность F(b)−F(a) - по формуле Ньютона - Лейбница это одно и то же. Первообразная здесь не нужна: фигура под графиком складывается из трапеций, прямоугольников и треугольников, и площадь считается по клеткам.
Разрезы в вершинах ломаной дают трапецию 22+4⋅1=3, прямоугольник 3⋅4=12 и трапецию 24+2⋅1=3, поэтому ∫16f(x)dx=3+12+3=18.
Что видно по графику первообразной
Примеры решения
Пример 1. Значение f по формуле F
Условие:
Функция F(x)=x3−4x2+7x−2 является одной из первообразных функции f(x). Найдите f(3).
Переводим условие в равенство
По определению первообразной f(x)=F′(x): искать надо не новую функцию, а производную данной.
Дифференцируем и подставляем
F′(x)=3x2−8x+7
f(3)=3⋅9−8⋅3+7=27−24+7=10
Ответ: 10
Пример 2. Разность значений первообразной
Условие:
Функция F(x) - одна из первообразных функции f(x)=4x3−6x+5. Найдите F(2)−F(0).
Берём любую первообразную
Постоянная в разности сокращается, поэтому возьмём ту, у которой C=0: F(x)=x4−3x2+5x. Проверка: F′(x)=4x3−6x+5 - совпало с условием.
Считаем разность
F(2)=16−12+10=14,F(0)=0
F(2)−F(0)=14
Ответ: 14
Пример 3. Площадь под прямой
Условие:
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=2x+3, осью абсцисс и прямыми x=1 и x=5.
Считаем по формуле Ньютона - Лейбница
На отрезке [1;5] функция положительна, поэтому площадь равна интегралу. Первообразная: F(x)=x2+3x.
S=∫15(2x+3)dx=F(5)−F(1)=(25+15)−(1+3)=36
Проверяем геометрией
График - прямая, значит, фигура является прямоугольной трапецией с основаниями f(1)=5 и f(5)=13 и высотой 4:
S=25+13⋅4=36
Ответ: 36
Пример 4. Площадь между параболой и осью
Условие:
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=12−3x2 и осью абсцисс.
Находим границы фигуры
Пределов интегрирования в условии нет - их задают сами точки пересечения с осью:
12−3x2=0⟹x2=4⟹x=−2иx=2
Считаем интеграл
На отрезке [−2;2] парабола лежит выше оси, первообразная F(x)=12x−x3:
S=F(2)−F(−2)=(24−8)−(−24+8)=16+16=32
Минус на минус здесь даёт плюс - на этом месте чаще всего теряют половину площади.
Ответ: 32
Пример 5. Число решений f(x)=0 по графику F
Условие:
На рисунке изображён график функции y=F(x) - одной из первообразных функции f(x), заданной на интервале (−7;5). Найдите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−4;4].
Переводим уравнение на язык графика
Так как f(x)=F′(x), уравнение f(x)=0 равносильно F′(x)=0. Производная обращается в нуль там, где касательная к графику F горизонтальна, то есть в точках экстремума.
Считаем экстремумы внутри отрезка
На отрезке [−4;4] у графика F есть минимумы при x=−3 и x=1 и максимумы при x=−1 и x=3. Максимум при x=−5 на рисунке виден, но в отрезок не попадает. Итого четыре точки.
Ответ: 4
Пример 6. Разность F(b)−F(a) по графику из лучей
Условие:
На рисунке изображён график функции y=f(x), состоящий из двух лучей с общим началом в точке (4;2). Пользуясь рисунком, вычислите F(7)−F(1), где F(x) - одна из первообразных функции f(x).
Переходим к площади
По формуле Ньютона - Лейбница F(7)−F(1)=∫17f(x)dx, а на отрезке [1;7] график лежит выше оси - значит, это площадь фигуры под ним.
Режем фигуру по излому
Излом при x=4 делит фигуру на две прямоугольные трапеции; значения снимаем по клеткам: f(1)=5, f(4)=2, f(7)=5.
S1=25+2⋅3=10,5,S2=22+5⋅3=10,5
F(7)−F(1)=10,5+10,5=21
Ответ: 21
Частые ошибки
Проверь себя
Функция F(x)=x3+5 - первообразная функции f(x). Чему равна f(x)?
Какая функция является первообразной для f(x)=sinx?
На отрезке [1;4] график f лежит ниже оси абсцисс, площадь фигуры между графиком и осью равна 6. Чему равен ∫14f(x)dx?
График f - отрезок из точки (0;0) в точку (4;4). Чему равен ∫04f(x)dx?
Дан график первообразной y=F(x). Чему равно число решений уравнения f(x)=0 на отрезке?
