Задание 14: Уравнения

Раскладываем на множители

Перенесём $2\sin x$ в левую часть и вынесем за скобки:

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$:

Вынесем общий множитель $-\cos^2 x$:

Решаем простейшие уравнения

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \ZZ$.
2. $2\sin x + \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Корни этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, где $n, m \in \ZZ$.

Отбираем корни на отрезке

Отберём корни с помощью числовой окружности.

Проверим наши серии корней:

• Серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ даёт на дуге точки $-\frac{7\pi}{2}$ и $-\frac{5\pi}{2}$ (правая граница отрезка).
• Серия $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$ даёт корень в третьей четверти: $-\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$.
• Серия $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ не даёт корней на заданном отрезке. Убедимся в этом явно: подставим $n = -1$, получим $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4} = -2{,}25\pi$. Правая граница нашего отрезка это $-\frac{5\pi}{2} = -2{,}5\pi$. Так как $-2{,}25\pi > -2{,}5\pi$, этот корень лежит правее отрезка. При $n = -2$ получим $-4{,}25\pi$, что левее $-4\pi$.

Применяем формулы двойного угла

Применим формулы двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Также представим $1$ как $\cos^2 x + \sin^2 x$:

Уничтожим $\cos^2 x$ слева и справа:

Группируем и раскладываем на множители

Вынесем $-2\sin x$ из первых двух слагаемых, а у остальных просто вынесем минус:

Решаем простейшие уравнения

1. $\sin x + \cos x = 0$. Разделим на $\cos x \neq 0$: $\text{tg}\, x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \ZZ$.
2. $2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$. Корни: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, где $n, m \in \ZZ$.

Отбираем корни двойным неравенством

Отберём корни методом двойного неравенства.

1. Для $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$:

Целые $k$: $2, 3$. При $k=2 \implies x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. При $k=3 \implies x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4}$.

2. Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$:

Целые $n$: $1$. При $n=1 \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.

3. Для $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m$:

Здесь нет целых значений $m$, серия не даёт корней на отрезке.

Делаем замену и решаем квадратное

Сделаем замену $t = 9^{\sin x}$, где $t > 0$. Тогда $9^{-\sin x} = \frac{1}{t}$.

Умножим всё на $3t$ (так как $t \neq 0$):

Дискриминант: $D = 100 - 36 = 64$. Корни: $t_1 = \frac{10+8}{6} = 3$ и $t_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{1}{3}$.

Возвращаемся к тригонометрии

Сделаем обратную замену:

1. $9^{\sin x} = 3 \implies 3^{2\sin x} = 3^1 \implies 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2}$. Корни: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

2. $9^{\sin x} = \frac{1}{3} \implies 3^{2\sin x} = 3^{-1} \implies 2\sin x = -1 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$. Корни: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi l$.

Для удобства эти четыре серии можно записать компактно: $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \ZZ$.

Отбираем корни двойным неравенством

Отберём корни методом двойного неравенства. Так как мы свернули серии в $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k$, проверим их. Отрезок: $[-3{,}5\pi; -2\pi]$.

1. $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$:

Единственное целое $k = -3$. Корень: $x = \frac{\pi}{6} - 3\pi = -\frac{17\pi}{6}$.

2. $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$:

Целые $n = -3$ и $n = -2$. При $n = -3$: $x = -\frac{\pi}{6} - 3\pi = -\frac{19\pi}{6}$. При $n = -2$: $x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$.