В задании 1 профильного ЕГЭ проверяется знание базовой планиметрии. Тема «Треугольники общего вида» встречается не очень часто, но её факты фундаментальны: свойства углов, биссектрис, средних линий, формулы площади и теоремы синусов и косинусов. Этот арсенал пригодится не только в первой части, но и в задании 18 - сложной планиметрии на 3 балла.
Основные формулы и теоремы
Для уверенного решения задач на произвольный треугольник нужен небольшой, но строгий набор фактов.
Алгоритм решения
В первой части задачи на тему обычно решаются в 2-3 действия. Главное - не промахнуться с выбором формулы.
Примеры решения задач
Разберём три типичных сюжета, которые встречаются на ЕГЭ.
Пример 1. Две стороны и две высоты
Две стороны треугольника равны 12 и 16. Высота, опущенная на бо́льшую из этих сторон, равна 9. Найди высоту, опущенную на меньшую из этих сторон.
Вводим обозначения
Пусть a=16 (бо́льшая сторона), а b=12 (меньшая сторона).
По условию высота, проведённая к бо́льшей стороне, равна 9. Значит, ha=9.
Записываем площадь двумя способами
Запишем формулу площади треугольника двумя способами:
S=21⋅a⋅ha
S=21⋅b⋅hb
Приравниваем и решаем уравнение
Приравняем правые части (множитель 21 можно сразу сократить):
a⋅ha=b⋅hb
16⋅9=12⋅hb
Решим полученное уравнение:
144=12⋅hb⟹hb=12144=12
Проверяем ответ
Проверка: сторона стала меньше (12<16), значит высота выросла (12>9). Это согласуется с правилом качелей a⋅ha=b⋅hb.
Ответ:12
Пример 2. Углы и биссектриса
В треугольнике ABC угол C равен 48∘, AD - биссектриса, угол CAD равен 31∘. Найди величину угла B. Ответ дай в градусах.
Находим угол A через биссектрису
Так как AD - биссектриса угла A, она делит его на две равные части. Значит, угол A в два раза больше угла CAD:
∠A=2⋅∠CAD=2⋅31∘=62∘
Записываем сумму углов треугольника
Сумма углов треугольника ABC равна 180∘. Запишем это:
∠A+∠B+∠C=180∘
Подставляем значения и находим угол B
Подставим известные значения:
62∘+∠B+48∘=180∘
∠B+110∘=180∘
∠B=180∘−110∘=70∘
Ответ:70
Пример 3. Площадь при проведении средней линии
Площадь треугольника ABC равна 76, отрезок MN - средняя линия, параллельная стороне AC. Найди площадь трапеции AMNC.
Замечаем подобие треугольников
Средняя линия отсекает от исходного треугольника малый треугольник MBN, который подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия k=21.
Находим отношение площадей
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:
SABCSMBN=k2=(21)2=41
Считаем площадь отсечённого треугольника
Найдём площадь отсечённого треугольника MBN:
SMBN=476=19
Вычитаем и получаем площадь трапеции
Исходный треугольник ABC состоит из малого треугольника MBN и трапеции AMNC. Чтобы найти площадь трапеции, вычтем из общей площади площадь малого треугольника:
SAMNC=SABC−SMBN=76−19=57
Быстрая проверка: трапеция забирает 43 от всей площади, то есть 43⋅76=57. Ответ совпал.
Ответ:57
Частые ошибки
Что запомнить
Сумма углов - это первое, о чём нужно вспомнить, если в задаче даны углы произвольного треугольника.
Биссектриса - умножь её внутренний угол на 2, чтобы получить полный угол треугольника.
Метод площадей - универсальный приём для поиска высот: a⋅ha=b⋅hb.
Две стороны и угол между ними - сразу пиши S=21absinC. Не тяни высоту.
Три стороны - площадь по Герону: S=p(p−a)(p−b)(p−c) с полупериметром p.
Связь стороны и противолежащего угла - теорема синусов sinAa=2R. Третья сторона через две и угол - теорема косинусов c2=a2+b2−2abcosC.
Площадь трапеции, отсечённой средней линией, всегда равна 75% (43) от площади всего треугольника.
Стратегия на экзамене
Проверь себя
Чему равна сумма внутренних углов любого треугольника?
Средняя линия отсекает от треугольника малый треугольник. Какая часть площади исходного треугольника приходится на оставшуюся трапецию?
Две стороны треугольника равны 10 и 20, высота к стороне 20 равна 6. Чему равна высота к стороне 10?
В треугольнике ABC биссектриса AD образует угол CAD=25∘. Чему равен угол A?
