Исследование степенных и иррациональных функций

Суть темы

В задании 12 часто попадаются степенные функции вида $y = x^n$ и функции с корнями $\sqrt{x}$, $\sqrt[n]{x}$. Спрашивают одно из двух:

• точку максимума/минимума -- в ответ идёт координата $x$;
• наибольшее/наименьшее значение на отрезке -- в ответ идёт координата $y$.

Для степенных функций всё решается стандартно: производная, критические точки, знаки. Для иррациональных функций добавляются две детали: ОДЗ (подкоренное выражение чётного корня должно быть $\geqslant 0$) и удобный приём -- заменить функцию её степенью или логарифмом, чтобы избавиться от громоздких корней.

Основные формулы

Для корня от выражения удобно помнить частный случай правила сложной функции: если под корнем стоит $u(x)$, то

Именно эти формулы и вытаскивают из конструкции дробь: числитель -- производная подкоренного выражения, знаменатель -- его «корень нужной степени» с множителем.

Приём: монотонная композиция

Корни и высокие степени пугают, но есть приём, который избавляет от них полностью.

Главные случаи для экзамена:

• $\varphi(t) = t^k$ для нечётного $k$ -- возрастает на всей $\RR$. Значит, у $y = (...)^{1/k}$ экстремум там же, где у подкоренного выражения.
• $\varphi(t) = t^k$ для чётного $k$ -- возрастает при $t \geqslant 0$. Работает только для функций с неотрицательным значением ($f \geqslant 0$, например, квадратный корень).
• $\varphi(t) = \ln t$ -- возрастает при $t > 0$. Позволяет превратить произведение в сумму, а степень -- в множитель.

Это означает: чтобы найти максимум $\sqrt{u(x)}$, можно сразу искать максимум $u(x)$ (если $u \geqslant 0$). Чтобы найти максимум $\sqrt[3]{u(x)}$ -- просто максимум $u(x)$. Производить дифференцирование всей громоздкой конструкции не нужно.

Алгоритм решения

Алгоритм чуть отличается в зависимости от того, просят точку экстремума или значение на отрезке.

Для задачи «найдите точку максимума/минимума» без отрезка шаг 4 другой: вместо подстановки смотри смену знака производной. Переход $+ \to -$ -- точка максимума, $- \to +$ -- точка минимума.

Примеры решения

Три примера: от простой степенной функции на отрезке к иррациональной с приёмом монотонной композиции.

Пример 1. Степенная функция на отрезке

Условие: Найди наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^3 - 12x + 5$ на отрезке $[-1;\, 3]$.

Пример 2. Корень из квадратного трёхчлена

Условие: Найди наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 - 8x + 20}$.

Пример 3. Корень и отрезок

Условие: Найди наибольшее значение функции $y = \sqrt{5 + 4x - x^2}$.

Частые ошибки

Что запомнить

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. В задании просят найти точку минимума функции. Что идёт в ответ?
   • координата $x$ этой точки
   • координата $y$ этой точки
   • значение производной в этой точке
2. Чему равна производная $y = \sqrt{u(x)}$?
   • $\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$
   • $\dfrac{1}{2\sqrt{u(x)}}$
   • $\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$
3. Чему равно наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 - 8x + 20}$?
   • $4$
   • $2$
   • $0$
4. Когда экстремумы $\sqrt[3]{u(x)}$ совпадают с экстремумами $u(x)$?
   • всегда: кубический корень возрастает на всей $\RR$
   • только при $u(x) \geqslant 0$
   • только при $u(x) > 0$

Проверить