Параболы

Записываем уравнение через вершину

Вершина чётко попадает в узел решётки $(-2;\, -3)$. Подставим в вершинный вид:

Ищем коэффициент $a$

Возьмём точку пересечения с осью $Y$: $(0;\, 5)$. Подставим $x = 0$, $f(x) = 5$:

Уравнение параболы: $f(x) = 2(x + 2)^2 - 3$.

Самопроверка по контрольной точке. Подставим $x = -1$: $f(-1) = 2(-1 + 2)^2 - 3 = 2 \cdot 1 - 3 = -1$. Совпадает с графиком.

Считаем ответ

Подставляем $x = -6$ в вершинный вид - это проще, чем раскрывать скобки:

Ответ: $29$

Уравнение прямой $g(x) = kx$

Прямая проходит через $A(1;\, -1)$. Подставим:

Уравнение: $g(x) = -x$.

Уравнение параболы $f(x)$

Вершина в узле $(2;\, -2)$. Вершинный вид:

Чтобы найти $a$, возьмём точку $(0;\, 2)$ пересечения с осью $Y$:

Уравнение: $f(x) = (x - 2)^2 - 2$. Раскроем скобки для удобства:

Самопроверка по точке $A$. $f(1) = 1 - 4 + 2 = -1$. Совпадает с ординатой точки $A$.

Ищем точки пересечения

Приравняем функции:

Решаем квадратное уравнение

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$, $x_1 \cdot x_2 = 2$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Корень $x = 1$ совпадает с абсциссой точки $A$ - это самопроверка. Значит, абсцисса точки $B$ равна $x = 2$.

Проверка. Ордината точки $B$: через прямую $y_B = -2$, через параболу $y_B = 4 - 8 + 2 = -2$. Совпадает.

Ответ: $2$

Уравнение первой параболы $f(x)$

Вершина в узле $(1;\, 0)$, вершинный вид:

Коэффициент $a$ найдём через соседний узел $(0;\, 1)$:

Уравнение: $f(x) = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$.

Уравнение второй параболы $g(x)$

Вершина в узле $(3;\, 4)$, вершинный вид:

Возьмём жирную точку $(5;\, 0)$ (нуль параболы):

Уравнение: $g(x) = -(x - 3)^2 + 4 = -x^2 + 6x - 5$.

Самопроверка по точке $A(1;\, 0)$. $g(1) = -1 + 6 - 5 = 0$. Совпадает.

Ищем точки пересечения

Приравняем функции:

Переносим всё в левую часть:

Разделим на $2$:

Решаем квадратное уравнение

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = 3$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Корень $x = 1$ - это абсцисса точки $A$ (совпадение подтверждает расчёт). Значит, абсцисса точки $B$ равна $x = 3$.

Проверка. Ордината точки $B$: через $f(x)$ получаем $f(3) = (3-1)^2 = 4$, через $g(x)$ получаем $g(3) = -(3-3)^2 + 4 = 4$. Совпадает, точка $B$ лежит прямо на вершине параболы $g$.

Ответ: $3$