Задание 3: Простейшая стереометрия

Определяем фигуру

Многогранник с вершинами $A, B, C, D, A_1, B_1$ - это треугольная призма, отсечённая от исходного прямоугольного параллелепипеда плоскостью $A_1B_1CD$.

Плоскость, проходящая через диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда, делит его объём ровно пополам.

Находим объём параллелепипеда

Делим объём пополам

Связываем параметры шара и цилиндра

Пусть радиус шара равен $R$. Так как шар вписан в цилиндр, он касается оснований и боковой поверхности цилиндра. Отсюда следует два важных факта:

1. Радиус основания цилиндра равен радиусу шара $R$.
2. Высота цилиндра равна диаметру шара, то есть $h = 2R$.

Выражаем площадь поверхности цилиндра через $R$

Запишем формулу площади полной поверхности цилиндра (две площади основания плюс боковая поверхность):

Подставим $h = 2R$:

По условию $6\pi R^2 = 33$.

Находим площадь поверхности шара

Запишем формулу площади поверхности шара:

Теперь выразим $S_{\text{шар}}$ через $S_{\text{цил}}$. Заметим, что $4\pi R^2$ составляет две трети от $6\pi R^2$:

Строим осевое сечение

Сделай плоский чертёж осевого сечения. В сечении мы получим равнобедренный треугольник (конус), вписанный в окружность (сферу). По условию центр сферы совпадает с центром основания конуса. Это значит, что основание конуса проходит через центр сферы, а диаметр основания конуса равен диаметру сферы.

Анализируем прямоугольный треугольник

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник, где катеты - это высота конуса и радиус основания, а гипотенуза - образующая $l = 7\sqrt{2}$. Так как центр сферы лежит на середине гипотенузы осевого сечения, радиус основания конуса $R$ и его высота $h$ равны радиусу сферы $R$. Получаем прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами $R$ и гипотенузой $7\sqrt{2}$.

Применяем теорему Пифагора

По теореме Пифагора: