Задание 3 проверяет базовые знания стереометрии. Тема «Объём составного многогранника» - один из самых популярных сюжетов этого номера на экзамене.
Суть этих задач сводится к одному: дан стандартный многогранник (прямоугольный параллелепипед, куб или правильная призма), и внутри него выделен новый многогранник, заданный списком вершин. Требуется найти его объём. Реже просят найти объём оставшейся части.
Ключевая идея - аддитивность объёма: если тело разбить на несколько непересекающихся частей, объём целого равен сумме объёмов частей. А если тело получено выкидыванием одной части из другой - объём равен разности.
Основные формулы
Для успешного решения нужно уверенно знать три базовые формулы объёмов и правило аддитивности.
Алгоритм решения
Почти любую задачу этого типа можно решить одним из трёх способов: прямой счёт, разбиение на простые части или вычитание из целого. Выбирай тот, который короче для конкретного чертежа.
Примеры решения
Разберём три типичные задачи от самых простых к более хитрым. Обрати внимание на то, как мы выбираем основание в первом примере.
Пример 1. Треугольная пирамида в параллелепипеде
Условие:
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=8, AD=5, AA1=6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, A1.
Определяем тип тела
Соединим точки A, B, D, A1. Получилась треугольная пирамида (тетраэдр). Покажем два способа - чтобы видеть, что ответ не зависит от выбора основания.
Способ 1: основание - треугольник ABD
Треугольник ABD - половина прямоугольника ABCD. Его площадь:
SABD=21⋅AB⋅AD=21⋅8⋅5=20
Высота пирамиды, опущенная из вершины A1 на плоскость нижней грани, - это ребро AA1=6 (потому что параллелепипед прямоугольный).
V=31⋅SABD⋅AA1=31⋅20⋅6=40
Способ 2: основание - треугольник ABA1
Треугольник ABA1 - половина прямоугольника ABB1A1. Его площадь:
SABA1=21⋅AB⋅AA1=21⋅8⋅6=24
Высота, опущенная из вершины D на плоскость грани ABB1A1, - это ребро AD=5.
V=31⋅SABA1⋅AD=31⋅24⋅5=40
Оба способа дают один и тот же ответ - это удобная самопроверка.
Ответ:40
Пример 2. Четырёхугольная пирамида в параллелепипеде
Условие:
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BC=4, CD=7, CC1=9. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, B1.
Способ 1: прямой счёт
Соединив точки A, B, C, D и B1, видим четырёхугольную пирамиду с основанием ABCD (это целая нижняя грань параллелепипеда) и вершиной B1.
Площадь основания (прямоугольник со сторонами AB=CD=7 и BC=4):
SABCD=AB⋅BC=7⋅4=28
Высота пирамиды - перпендикуляр из B1 на плоскость ABCD, то есть боковое ребро B1B=CC1=9.
V=31⋅28⋅9=84
Способ 2: через долю параллелепипеда
Вершина пирамиды лежит на верхней грани, а основание совпадает с нижней гранью. Значит, высота пирамиды равна высоте параллелепипеда. Объём такой пирамиды всегда составляет ровно треть объёма параллелепипеда:
V=31⋅Vпарал=31⋅(7⋅4⋅9)=3252=84
Ответ:84
Пример 3. Отсечённая треугольная призма через вычитание
Условие:
Объём куба равен 104. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
Вводим обозначения
Пусть ребро куба равно a. Тогда Vкуба=a3=104.
Способ 1: прямой счёт
Отсечённая фигура - прямая треугольная призма. Её высота совпадает с ребром куба a (секущая плоскость параллельна этому ребру). Основание призмы - прямоугольный треугольник с катетами 2a и 2a (плоскость идёт через середины рёбер).
Площадь основания:
Sосн=21⋅2a⋅2a=8a2
Объём призмы:
Vпризмы=Sосн⋅h=8a2⋅a=8a3=8104=13
Способ 2: через долю от куба
Призма занимает фиксированную долю куба. Посмотри на основание сверху: треугольник AMN с катетами 2a отрезается от квадрата ABCD со стороной a. Отношение площадей:
SABCDSAMN=a2a2/8=81
Высоты у призмы и у куба одинаковые, поэтому и отношение объёмов такое же:
Vпризмы=81⋅Vкуба=8104=13
Ответ:13
Частые ошибки
Что запомнить
Если в задаче дан прямоугольный параллелепипед с объёмом V, запомни три типичные доли:
Треугольная пирамида с основанием из 3 вершин одной грани и вершиной на противоположной грани (например, A,B,D,A1) - 61V.
Четырёхугольная пирамида, опирающаяся на всю грань (например, A,B,C,D,A1) - 31V.
Треугольная призма, отрезанная диагональным сечением (например, A,B,C,A1,B1,C1) - 21V.
Эти три доли покрывают почти все задачи банка. Если вычислил ответ и он не совпадает ни с одной из долей - это сигнал перепроверить вычисления.
Стратегия на экзамене
Проверь себя
Объём пирамиды вычисляется по формуле:
Четырёхугольная пирамида опирается на всю нижнюю грань параллелепипеда, а её вершина лежит на верхней грани. Какую долю объёма параллелепипеда она занимает?
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=6, AD=4, AA1=5. Чему равен объём пирамиды с вершинами A, B, D, A1?
Треугольная призма отрезана от параллелепипеда диагональным сечением через рёбра BB1 и DD1 (вершины A,B,D,A1,B1,D1). Какая это доля объёма параллелепипеда?
