Показательные неравенства

Содержание

Показательные неравенства (Задание 16)
Основные формулы
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить
Стратегия на экзамене
За что дают баллы

Показательные неравенства (Задание 16)

Задание 16 проверяет умение решать сложные неравенства. Показательные неравенства - вторая по частоте тема этого номера (около трети всех задач). Их главная особенность - неизвестная $x$ стоит в показателе степени, а в самом примере часто намешаны дроби, многочлены и разные основания.

Для успешного решения нужно уверенно владеть свойствами степеней, методом замены переменной и обобщённым методом интервалов.

Основные формулы

Любое показательное неравенство опирается на свойства степеней и правило монотонности показательной функции.

Алгоритм решения

Все показательные неравенства на ЕГЭ сводятся к двум основным сценариям: замена переменной (когда основание одно) или разложение на множители (когда оснований несколько или есть алгебраическая часть).

АЛГОРИТМ

Алгоритм: Метод замены переменной

Приведи степени к одному основанию. Разбей показатели с суммами: $a^{x+c} = a^x \cdot a^c$ . Если есть $a^{2x}$ - это $(a^x)^2$ .
Выпиши ограничения. Знаменатели исходного неравенства не должны обращаться в ноль.
Сделай замену. Введи новую переменную $t = a^x$ . Обязательно укажи ограничение: $t > 0$ .
Реши рациональное неравенство. Перенеси всё в одну сторону, приведи дроби к общему знаменателю. Найди нули числителя и знаменателя, нанеси их на числовую ось $t$ .
Учти условие $t > 0$ . Заштрихуй область левее нуля и не рассматривай её. Выбери промежутки, удовлетворяющие знаку неравенства.
Сделай обратную замену. Для каждого найденного интервала запиши простейшие показательные неравенства ( $t \geqslant \dots$ или $\dots \leqslant t \leqslant \dots$ ) и реши их.

Если в неравенстве одновременно присутствуют многочлены от $x$ и показательные выражения (например, числитель показательный, а знаменатель алгебраический), замена не сработает - нужен обобщённый метод интервалов:

Разложи числитель и знаменатель на множители (часто помогает группировка: $a^x \cdot b^x = (ab)^x$ ).
Найди нули числителя (закрашенные точки) и нули знаменателя (выколотые точки).
Нанеси их на ось $x$ в правильном порядке. Если среди нулей есть $\log_a b$ , оцени его значение через простые степени.
Определи знак всего выражения на крайнем правом интервале, подставив большое число. На остальных интервалах знак чередуется (при условии, что все множители входят в первой степени).

Примеры решения

Разберём три задачи от простых алгоритмичных к более комплексным.

Пример 1. Классическая замена

Решите неравенство:

\dfrac{3}{4^x - 16} \geqslant \dfrac{1}{4^x - 4}

Ограничения и замена

Ограничения. Знаменатели исходного неравенства не равны нулю: $4^x \neq 16$ и $4^x \neq 4$ , то есть $x \neq 2$ и $x \neq 1$ . Эти ограничения учтутся выколотыми точками на оси $t$ .

Сделаем замену переменной $t = 4^x$ . Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$ . Неравенство принимает вид:

\frac{3}{t - 16} \geqslant \frac{1}{t - 4}

Приводим к общему знаменателю

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

\frac{3}{t - 16} - \frac{1}{t - 4} \geqslant 0

\frac{3(t - 4) - (t - 16)}{(t - 16)(t - 4)} \geqslant 0

\frac{3t - 12 - t + 16}{(t - 16)(t - 4)} \geqslant 0 \iff \frac{2t + 4}{(t - 16)(t - 4)} \geqslant 0

Вынесем двойку в числителе (положительный множитель на знак дроби не влияет, можно просто отбросить):

\frac{t + 2}{(t - 16)(t - 4)} \geqslant 0

Метод интервалов

Решим методом интервалов относительно $t$ . Нули числителя: $t = -2$ (закрашенная точка). Нули знаменателя: $t = 4$ , $t = 16$ (выколотые точки).

Так как по условию замены $t > 0$ , выражение $t + 2$ всегда положительно. Значит, знак дроби зависит только от знаменателя. Точка $-2$ лежит левее нуля - не рассматриваем её.

Получаем два интервала для $t$ :

\left[\begin{array}{l} 0 < t < 4 \\ t > 16 \end{array}\right.

Обратная замена

Выполняем обратную замену $t = 4^x$ . Левую часть $0 < 4^x$ писать не нужно - это выполняется при любых $x$ . Основание $4 > 1$ , знак сохраняется:

\left[\begin{array}{l} 4^x < 4^1 \\ 4^x > 4^2 \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l} x < 1 \\ x > 2 \end{array}\right.

Ответ: $(-\infty;\, 1) \cup (2;\, +\infty)$ .

Пример 2. Отрицательный дискриминант после замены

Решите неравенство:

\dfrac{9^{x+0{,}5} - 4 \cdot 3^x + 1}{3^x - 3} \geqslant 3^x

Ограничения и приведение к одному основанию

Ограничение. Знаменатель не равен нулю: $3^x - 3 \neq 0$ , то есть $x \neq 1$ .

Преобразуем степени: $9^{x+0{,}5} = 9^x \cdot 9^{1/2} = (3^x)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 3^{2x}$ . Перенесём $3^x$ влево:

\frac{3 \cdot 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 1}{3^x - 3} - 3^x \geqslant 0

Замена и общий знаменатель

Введём замену $t = 3^x$ , $t > 0$ :

\frac{3t^2 - 4t + 1}{t - 3} - t \geqslant 0

Приведём к общему знаменателю:

\frac{3t^2 - 4t + 1 - t(t - 3)}{t - 3} \geqslant 0

\frac{3t^2 - 4t + 1 - t^2 + 3t}{t - 3} \geqslant 0 \iff \frac{2t^2 - t + 1}{t - 3} \geqslant 0

Исследуем числитель

Исследуем числитель $2t^2 - t + 1$ . Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$ . Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен ( $2 > 0$ ), парабола целиком лежит над осью абсцисс. Значит, выражение $2t^2 - t + 1$ строго больше нуля при любых значениях $t$ .

Раз числитель всегда положителен, вся дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель строго больше нуля (ноль даёт деление на ноль):

t - 3 > 0 \iff t > 3

Обратная замена

Обратная замена. Основание $3 > 1$ , знак сохраняется:

3^x > 3^1 \iff x > 1

Условие $x \neq 1$ выполнено автоматически (строгое неравенство).

Ответ: $(1;\, +\infty)$ .

Пример 3. Группировка и метод интервалов

Решите неравенство:

\frac{10^x - 2^{x+1} - 5^{x+1} + 10}{x^2 - 3x - 4} \leqslant 0

Ограничения

В этом неравенстве есть и показательные, и алгебраические функции. Замену сделать не получится, поэтому раскладываем на множители числитель и знаменатель по отдельности.

Ограничения. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 3x - 4 \neq 0$ , то есть $x \neq 4$ и $x \neq -1$ .

Раскладываем на множители

Разложим числитель. Используем $10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$ и сгруппируем:

2^x \cdot 5^x - 2 \cdot 2^x - 5 \cdot 5^x + 10 = 2^x(5^x - 2) - 5(5^x - 2) = (2^x - 5)(5^x - 2)

Найдём нули числителя:

$2^x - 5 = 0 \iff 2^x = 5 \iff x = \log_2 5$
$5^x - 2 = 0 \iff 5^x = 2 \iff x = \log_5 2$

Разложим знаменатель. По теореме Виета корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ равны $4$ и $-1$ . Значит, $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$ .

Сборка. Исходное неравенство приняло вид:

\frac{(2^x - 5)(5^x - 2)}{(x - 4)(x + 1)} \leqslant 0

Порядок точек на оси

Порядок точек на оси. Для метода интервалов оцениваем логарифмы через простые степени:

$\log_5 2$ : из $5^0 = 1$ и $5^1 = 5$ видно, что $\log_5 2 \in (0;\,1)$ .
$\log_2 5$ : из $2^2 = 4$ и $2^3 = 8$ видно, что $\log_2 5 \in (2;\,3)$ .

Порядок слева направо: $-1 < \log_5 2 < \log_2 5 < 4$ .

Определяем знаки и отбираем интервалы

Определим знаки. Возьмём число из крайнего правого интервала, например $x = 5$ :

$2^5 - 5 = 32 - 5 > 0$
$5^5 - 2 > 0$
$(5 - 4)(5 + 1) > 0$

Всё положительно - знак крайнего правого интервала « $+$ ». При переходе через каждую из четырёх точек знак дроби меняется (все множители в первой степени).

Расставляем слева направо: $+$ , $-$ , $+$ , $-$ , $+$ . Нужны интервалы со знаком $\leqslant 0$ (минусы + нули числителя).

Ответ: $(-1;\, \log_5 2] \cup [\log_2 5;\, 4)$ .

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Игнорирование условия

t > 0

Ошибка: Получить после замены дробь $\dfrac{t + 3}{t - 1} \leqslant 0$ , нанести на ось точки $-3$ и $1$ и записать в ответ интервал $[-3;\, 1)$ . А при обратной замене получить $4^x \geqslant -3$ и не понять, что с этим делать.

Правильно: Сразу после замены прописывай $t > 0$ . Множитель $t + 3$ на области $t > 0$ всегда строго положителен - его можно смело отбросить (либо штриховать на оси всё левее нуля). Верный интервал: $0 < t < 1$ .

Что запомнить

Своди все степени к одному основанию (если это замена) или группируй (если оснований два).
При замене $t = a^x$ всегда прописывай $t > 0$ . Это спасёт от лишней работы с посторонними корнями.
Если квадратный трёхчлен после замены имеет $D < 0$ , он всегда сохраняет знак старшего коэффициента (обычно положителен, значит весь трёхчлен $> 0$ ).
Дробное неравенство с показателями решается так же, как обычное рациональное - обобщённым методом интервалов.
Логарифмы - полноправные числа. Если корень получается в виде $\log_3 7$ , не пугайся. Главное - верно оценить его примерное значение, чтобы поставить на числовую прямую.
Перед заменой выписывай ОДЗ исходного неравенства (знаменатели $\neq 0$ ). Иначе потеряешь выколотые точки.

Стратегия на экзамене

СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 16

Время выполнения: 15-20 минут.
Очерёдность: Задание 16 - часть «джентльменского набора» (14, 16, 17). Решай его сразу после задания 14 (уравнения).
Проверка ответа: Возьми по одному удобному числу из каждого полученного интервала (например, $0$ или $100$ ) и подставь в самое первое, исходное неравенство. Выполняется - знаки расставлены верно. Затем возьми число из отброшенного интервала: неравенство не должно выполняться. Особое внимание удели границам (круглые и квадратные скобки).
Когда стоит перепроверить: Если после замены корни квадратного уравнения получаются иррациональными, остановись. В задании 16 дискриминанты почти всегда извлекаются красиво. Ищи арифметическую ошибку на этапе приведения к общему знаменателю.
Оформление: Пиши слово «Ограничения» вместо «ОДЗ» (к аббревиатуре эксперты относятся строго). Рисуй ось для метода интервалов прямо в чистовике - это не украшение, а обязательная часть решения.

За что дают баллы

Задание 16 оценивается максимум в 2 балла:

2 балла. Обоснованно получен верный ответ. Логика решения корректна, все ограничения учтены.
1 балл. Одна из двух ситуаций:
1. Допущена ровно одна вычислительная ошибка (ошибка в арифметике при верной логике алгоритма), решение с этой ошибкой доведено до конца.
2. Ответ отличается от верного ровно одной точкой (например, выколотая точка записана как закрашенная из-за нуля знаменателя, либо потерян изолированный корень числителя).
0 баллов. Любая логическая ошибка: не поменял знак при основании $<1$ , не учёл ограничение $t > 0$ , потерял нули знаменателя, ошибся в свойствах степеней. Также 0 баллов, если ответ отличается от верного более чем на одну точку или записан без обоснования.

Потеря одной скобки - это всё ещё 1 балл из 2. Но две потерянные точки - уже 0. Проверяй границы!

Проверь себя

Как меняется знак неравенства при переходе от $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{f(x)} > \left(\dfrac{1}{2}\right)^{g(x)}$ к показателям?
Какое ограничение обязательно указать при замене $t = 3^x$ ?
Со знаком какого выражения совпадает знак разности $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ ?
Квадратный трёхчлен $2t^2 - t + 1$ имеет $D = -7 < 0$ . Что это значит?