Распределение случайной величины

Содержание

Распределение случайной величины (Задание 6)
Что такое случайная величина
Закон распределения
События - это наборы значений
Накопленные вероятности
Примеры решения
Частые ошибки

Распределение случайной величины (Задание 6)

Шестое задание почти всегда начинается с одного шага: условие переводят на язык случайной величины. Число заказов за десять минут, число бракованных светильников в упаковке, число выплат по договору за год - всё это случайные величины, и про каждую спрашивают одно: с какой вероятностью она принимает то или иное значение. Ответ хранится в таблице распределения, и вся тема - работа с такой таблицей.

Считать здесь почти нечего - сложение и вычитание в пределах единицы. Тема держится на одном равенстве (сумма вероятностей всех значений равна $1$ ) и на умении честно выписать все значения величины. Ожидание, дисперсия и отклонение считаются уже по готовой таблице, так что верно составленная таблица закрывает половину номера.

Что такое случайная величина

Разным исходам может достаться одно и то же число - как РГ и ГР выше. Это не сбой, а самое важное место темы: событие « $X = 1$ » собирает сразу два исхода, и его вероятность вдвое больше, чем у каждого из них.

Закон распределения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Закон распределения

Закон распределения дискретной случайной величины - перечень всех её значений вместе с их вероятностями. Записывают его таблицей в две строки:

$X$	$x_1$	$x_2$	$\ldots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\ldots$	$p_n$

Сверху - значения, снизу - их вероятности: $p_i = P(X = x_i)$ . Таблица полностью описывает величину: всё, что спрашивают в шестом номере, читается из неё.

Отсюда самый частый вопрос темы: одна вероятность заменена буквой, и её надо найти. Складываем известные и вычитаем сумму из единицы.

АЛГОРИТМ

Как составить таблицу по условию

Назови величину одной фразой. « $X$ - число бракованных светильников в упаковке». Пока не ясно, что измеряется, считать нечего.
Выпиши все значения. До одного, включая нулевое: «брака нет» - это значение $0$ , а не отсутствие значения.
Найди вероятность каждого. Она либо дана прямо, либо считается как доля, либо выражается через неизвестную $t$ .
Проверь сумму. Она обязана равняться $1$ . Не сходится - потеряно значение или ошибка в арифметике.
Ответь ровно на вопрос. Саму таблицу просят редко: чаще одну вероятность или сумму нескольких.

События - это наборы значений

Вопрос почти никогда не звучит как «найдите $P(X = 3)$ ». Спрашивают «не менее трёх», «меньше двух», «хотя бы один». Любое такое событие - набор значений величины, а разные значения несовместны, поэтому вероятности складываются.

Событие «не менее трёх» собирается из трёх значений

Накопленные вероятности

Иногда в условии дают не таблицу, а накопленные вероятности $P(X \leqslant x)$ - сколько набралось, если идти по значениям слева направо. Это та же таблица, записанная нарастающим итогом.

Ступенька растёт ровно на вероятность своего значения

Примеры решения

Пример 1. Недостающая вероятность

Условие: Служба доставки считает опоздания курьера за день. Случайная величина $X$ - число опозданий:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$0{,}45$	$0{,}3$	$0{,}15$	$p$	$0{,}02$

Найдите $p$ .

Пример 2. Событие из нескольких значений

Условие: Диспетчер сервисного центра фиксирует число заявок за смену. Случайная величина $X$ - число заявок:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}35$	$0{,}25$	$0{,}1$

Найдите вероятность того, что за смену поступит не менее трёх заявок.

Пример 3. Вероятности заданы отношениями

Условие: Банкомат за месяц выходит из строя $0$ , $1$ , $2$ или $3$ раза. Вероятность того, что поломок не будет, равна $0{,}7$ . Вероятность одной поломки вдвое больше вероятности двух, а вероятность двух втрое больше вероятности трёх. Найдите вероятность ровно одной поломки за месяц.

Пример 4. Даны накопленные вероятности

Условие: Число автобусов, приходящих на остановку за полчаса, - случайная величина $X$ со значениями $1$ , $2$ , $3$ и $4$ . По накопленным данным

P(X \leqslant 1) = 0{,}2, \qquad P(X \leqslant 2) = 0{,}5, \qquad P(X \leqslant 3) = 0{,}9

Найдите вероятность того, что за полчаса придут ровно четыре автобуса.

Пример 5. Таблицы нет - её надо построить

Условие: Стрелок делает два независимых выстрела, вероятность попадания при каждом равна $0{,}8$ . Случайная величина $X$ - число попаданий. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт хотя бы один раз.

Четыре исхода двух выстрелов складываются в три значения

Считаем вероятность каждого значения

Попаданий может быть $0$ , $1$ или $2$ ; выстрелы независимы, вероятность промаха равна $0{,}2$ .

P(X = 0) = 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04, \qquad P(X = 2) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64

Значение $X = 1$ получается двумя способами: попал первым и промахнулся вторым либо наоборот. Оба исхода дают одно значение, поэтому их вероятности складываются:

P(X = 1) = 0{,}8 \cdot 0{,}2 + 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}32

Записываем таблицу и проверяем сумму

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0{,}04$	$0{,}32$	$0{,}64$

Сумма $0{,}04 + 0{,}32 + 0{,}64 = 1$ - таблица построена верно.

Отвечаем на вопрос

«Хотя бы один раз» - это $X \geqslant 1$ . Короче через противоположное событие «ни одного попадания»:

P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96

Ответ: 0,96

Частые ошибки

ИТОГ

Что запомнить

Случайная величина - число, приписанное исходу опыта; разные исходы могут давать одно значение, и тогда вероятности складываются.
Закон распределения - таблица «значения / вероятности»; она полностью задаёт дискретную величину.
Сумма вероятностей всех значений равна $1$ - на этом равенстве стоит почти вся тема.
Событие «не менее», «не более», «хотя бы один» - набор клеток таблицы; длинную сумму заменяют на $1$ минус вероятность противоположного.
Накопленная $P(X \leqslant x)$ не убывает и заканчивается единицей; вероятность значения - приращение соседних накопленных.

СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: 2-4 минуты. Самая быстрая задача шестого номера: вся работа - сложение и вычитание.
Первый ход: выпиши значения величины строкой, даже если таблица дана. Половина ошибок - потерянное значение, а не арифметика.
Контроль: любая вероятность лежит между $0$ и $1$ . Получил минус или больше единицы - ошибка уже произошла.
Финальная проверка: сложи всю таблицу. Ровно единица - решение почти наверняка верно: ошибка в любой клетке эту сумму ломает.

Проверь себя

Чему равна сумма вероятностей всех значений дискретной случайной величины?
Величина $X$ принимает значения $0$ , $1$ , $2$ , $3$ с вероятностями $0{,}1$ ; $0{,}2$ ; $0{,}4$ ; $0{,}3$ . Чему равно $P(X \geqslant 2)$ ?
Известно, что $P(X \leqslant 4) = 0{,}7$ и $P(X \leqslant 5) = 0{,}9$ . Чему равно $P(X = 5)$ ?
Для целочисленной величины $X$ событие «хотя бы одно попадание» - это

Распределение случайной величины

Распределение случайной величины (Задание 6)

Что такое случайная величина

Закон распределения

События - это наборы значений

Накопленные вероятности

Примеры решения

Записываем условие на сумму

Складываем известные вероятности

Находим неизвестную и проверяем

Переводим слова в неравенство

Складываем вероятности этих значений

Проверяем через противоположное событие

Обозначаем самую «мелкую» вероятность

Собираем уравнение из суммы

Возвращаемся к вопросу

Проверяем таблицу целиком

Берём приращение накопленной вероятности

Восстанавливаем всю таблицу для проверки

Считаем вероятность каждого значения

Записываем таблицу и проверяем сумму

Отвечаем на вопрос

Частые ошибки