Показательные и логарифмические функции

Показательные и логарифмические функции (Задание 12)

Задание 12 проверяет умение работать с функциями и их графиками. Показательные и логарифмические функции встречаются здесь примерно в 30% случаев. Это стабильные и предсказуемые задачи, которые приносят лёгкий балл в первой части экзамена (ответом всегда будет целое число или конечная десятичная дробь).

Твоя главная цель в таких задачах - по внешнему виду графика определить неизвестное основание $a$, восстановить полное уравнение функции и затем вычислить её значение в заданной точке.

Суть темы и основные формулы

Показательная и логарифмическая функции - это две стороны одной медали, они являются взаимно обратными: если $y = a^x$, то $x = \log_a y$. Именно поэтому их графики симметричны относительно прямой $y = x$. Это свойство помогает быстро проверять себя: если ты уверен в графике показательной, то отражением получишь график логарифмической с тем же основанием.

Иногда в задании 12 попадаются функции со сдвигами. Их главный признак - асимптота, которая не совпадает с осью координат.

Алгоритм решения

В задании 12 функции чаще всего даются в чистом виде, без сдвигов: $f(x) = a^x$ или $f(x) = \log_a x$. Но изредка встречается и сдвиг - тогда сначала считываешь сдвиг по асимптоте, а потом находишь основание по узловой точке.

Примеры решения задач

Разберём три примера от простого к более сложному. Обрати внимание на работу со степенями и отрицательными числами.

Пример 1. Возрастающая показательная функция

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = a^x$. Найдите значение $f(4)$.

Пример 2. Убывающая логарифмическая функция

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = \log_a x$. Найдите значение $f(125)$.

Пример 3. Показательная функция с дробным основанием

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = a^x$. Найдите значение $f(-4)$.

Частые ошибки

Что запомнить

1. Вид графика: Прижимается к горизонтальной прямой - показательная $a^x$. Прижимается к вертикальной прямой - логарифмическая $\log_a x$.
2. Возрастание и убывание: Если график идёт вправо-вверх, то основание $a > 1$ (например, $2$, $3$, $10$). Если идёт вправо-вниз, то основание $0 < a < 1$ (например, $0{,}5$ или $\dfrac{1}{3}$).
3. ОДЗ основания: Всегда $a > 0$ и $a \neq 1$.
4. Асимптоты: Для базовой $y = a^x$ - $y = 0$; для $y = \log_a x$ - $x = 0$. Сдвиг функции смещает её асимптоту: горизонтальная $y = d$ для $y = a \cdot b^x + d$, вертикальная $x = c$ для $y = \log_b(x - c) + d$.
5. Обратные функции: $a^x$ и $\log_a x$ взаимно обратны, их графики симметричны относительно $y = x$.

Стратегия на экзамене

Проверь себя

1. Через какую точку проходит график любой функции $y = a^x$ при допустимом основании $a$?
   • $(0;\, 1)$
   • $(1;\, 0)$
   • $(0;\, 0)$
   • $(1;\, 1)$
2. График функции $y = \log_a x$ проходит через точку $(3;\, 1)$. Чему равно $a$?
   • $3$
   • $\dfrac{1}{3}$
   • $1$
   • $10$
3. График $f(x) = a^x$ убывает и проходит через точку $(-1;\, 4)$. Найди $f(2)$.
   • $\dfrac{1}{16}$
   • $16$
   • $\dfrac{1}{2}$
   • $8$
4. Какая прямая является асимптотой графика $y = \log_b(x - 3) + 5$?
   • $x = 3$
   • $y = 5$
   • $x = 5$
   • $y = 3$

Проверить