Равномерное распределение

Содержание

Равномерное распределение (Задание 6)
Суть темы
Основные формулы
Алгоритм решения
Примеры решения
Частые ошибки
Что запомнить

Равномерное распределение (Задание 6)

Задание 6 - короткая задача на случайную величину: одна-две формулы и аккуратный счёт. Равномерное распределение - самый простой её сюжет и по-своему самый выгодный: здесь не нужны ни интегралы, ни таблицы значений. Вероятность считается как отношение длин двух отрезков, а математическое ожидание и дисперсия берутся из готовых формул.

Узнать тему в условии легко. Если сказано «пассажир приходит на остановку в случайный момент», «курьер привезёт заказ в промежуток с 14:00 до 18:00» или прямо «величина распределена равномерно на отрезке» - это она.

Суть темы

У непрерывной величины бессмысленно спрашивать, чему равна вероятность значения ровно $7{,}0$ минут: таких точек бесконечно много, и вероятность каждой равна нулю. Поэтому вместо вероятностей отдельных значений задают плотность распределения $f(x)$ , а вероятность получают как площадь под её графиком.

Для равномерной величины график плотности - обычная горизонтальная «полка» над отрезком $[a;\, b]$ и ноль за его пределами. Высота полки подобрана так, чтобы площадь прямоугольника равнялась единице: вся вероятность вместе всегда даёт $1$ .

Плотность равномерного распределения - прямоугольник единичной площади

Основные формулы

Все формулы темы читаются с одного и того же прямоугольника - учить их по отдельности не нужно.

ВАЖНОЕ

Функция распределения

F(x) = P(X \leqslant x) = \dfrac{x - a}{b - a} \quad \text{при } a \leqslant x \leqslant b

Левее отрезка $F(x) = 0$ , правее $F(x) = 1$ . График - ломаная из трёх кусков: горизонтальный, затем наклонный отрезок от $(a;\, 0)$ до $(b;\, 1)$ , затем снова горизонтальный.

Часть учебников определяет функцию распределения строгим неравенством, $F(x) = P(X < x)$ ; для непрерывной величины оба определения дают одно и то же число, потому что $P(X = x) = 0$ .

График функции распределения равномерной величины

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на равномерное распределение

Выпиши границы $a$ и $b$ . Это концы промежутка, на котором величина «живёт»: от $0$ до $15$ минут, от $14{:}00$ до $18{:}00$ , от $2$ до $10$ . Если дана плотность $f(x) = \dfrac{1}{12}$ при $0 \leqslant x \leqslant 12$ , границы написаны прямо в условии рядом с ней.
Переведи всё в одни единицы. Минуты с минутами, часы с часами. Смешение единиц - главный источник неверных ответов в этой теме.
Определи, что спрашивают. Вероятность попадания - формула с отношением длин. Среднее время - формула для $E(X)$ . Разброс - $D(X)$ или $\sigma(X)$ .
Для вероятности найди длину нужного куска. Обрежь его по границам отрезка: часть, торчащая за $[a;\, b]$ , вероятности не добавляет.
Раздели на длину всего отрезка $b - a$ . Не на $b$ и не на длину куска - именно на $b - a$ .
Проверь ответ. Вероятность обязана лежать в $[0;\, 1]$ , ожидание - внутри отрезка $[a;\, b]$ . Ответ в задании 6 - целое число или конечная десятичная дробь.

Примеры решения

Пример 1. Время ожидания транспорта

Условие: Трамваи проходят через остановку строго каждые $15$ минут. Пассажир приходит на остановку в случайный момент, поэтому время его ожидания распределено равномерно на отрезке от $0$ до $15$ минут. Найди вероятность того, что пассажир прождёт трамвай не более $6$ минут.

Пример 2. Промежуток внутри промежутка

Условие: Интернет-магазин обещает привезти заказ в промежуток с $14{:}00$ до $18{:}00$ , причём момент доставки распределён равномерно на этом промежутке. Найди вероятность того, что заказ привезут между $15{:}30$ и $17{:}00$ .

Пример 3. Дисперсия по заданной плотности

Условие: Время ожидания лифта в подъезде (в минутах) - случайная величина $X$ с плотностью распределения $f(x) = \dfrac{1}{12}$ при $0 \leqslant x \leqslant 12$ и $f(x) = 0$ при остальных значениях $x$ . Найди дисперсию времени ожидания.

Пример 4. Пассажир уже подождал

Условие: Электропоезда отправляются от платформы каждые $20$ минут. Пассажир пришёл на платформу в случайный момент, поэтому время его ожидания распределено равномерно на отрезке от $0$ до $20$ минут. Пассажир ждёт уже $5$ минут, а поезда всё нет. Найди вероятность того, что поезд подойдёт в течение ближайших трёх минут.

Пример 5. Обратная задача: границы по ожиданию и дисперсии

Условие: Время поездки на пароме через пролив распределено равномерно. Среднее время поездки равно $10$ минутам, а дисперсия времени поездки равна $3$ . Найди наибольшее возможное время поездки. Ответ дай в минутах.

Частые ошибки

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путать плотность с вероятностью

Ошибка: Считать, что $f(x)$ - это вероятность, и пугаться значения больше единицы.

Правильно: Плотность - не вероятность, а «вероятность на единицу длины». На отрезке $[0;\, 0{,}5]$ плотность равна $\dfrac{1}{0{,}5} = 2$ , и это нормально. Вероятностью становится только площадь под графиком плотности, а она никогда не превышает $1$ .

Отсюда же следует, что $P(X = c) = 0$ для любой отдельной точки: у отрезка нулевой длины нулевая площадь. Поэтому «не более $6$ минут» и «менее $6$ минут» в этой теме дают один и тот же ответ, и строгость неравенств можно не отслеживать.

ЧАСТАЯ ОШИБКА

Считать «уже подождал» как обычную вероятность

Ошибка: В задаче про поезд с интервалом $20$ минут, где пассажир уже прождал $5$ минут, взять $P = \dfrac{3}{20} = 0{,}15$ .

Правильно: Слова «ждёт уже $5$ минут» меняют не числитель, а знаменатель: часть отрезка выбыла из рассмотрения. Считать нужно на укороченном отрезке $[5;\, 20]$ длины $15$ :

P = \dfrac{3}{15} = 0{,}2

Признак такой задачи в условии - слова «уже», «прошло», «а транспорта всё нет».

Что запомнить

ИТОГ

Равномерное распределение в шести строках

Плотность - «полка» высоты $\dfrac{1}{b - a}$ над отрезком $[a;\, b]$ и ноль вне его; площадь под ней равна $1$ .
Вероятность - это длина нужного куска, делённая на длину всего отрезка $b - a$ .
$F(x) = \dfrac{x - a}{b - a}$ на отрезке, $0$ слева и $1$ справа от него.
$E(X) = \dfrac{a + b}{2}$ - середина отрезка.
$D(X) = \dfrac{(b - a)^2}{12}$ - зависит только от длины, но не от положения отрезка.
«Уже прождал $t$ минут» - это новый отрезок $[t;\, b]$ ; меняется знаменатель, а не числитель.

СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Тайминг: 2-4 минуты. Самый быстрый сюжет шестого номера - решай сразу, в первом же проходе по первой части.
Первый шаг всегда один: выписать $a$ и $b$ и посчитать $b - a$ . Половина ошибок в теме живёт именно здесь.
Рисуй отрезок. Прямая с отмеченными $a$ , $b$ и границами нужного куска занимает пятнадцать секунд и снимает почти все вопросы о том, что на что делить.
Про $\sigma$ . У равномерного распределения $\sigma = \dfrac{b - a}{2\sqrt{3}} = \dfrac{(b - a)\sqrt{3}}{6}$ , то есть при любой обычной длине отрезка это рациональное число, умноженное на $\sqrt{3}$ , - иррациональное всегда, а не «почти всегда». В бланк части 1 такой ответ не вписывается, поэтому стандартное отклонение равномерного распределения там спросить и не могут: спрашивают дисперсию. Увидел в условии $\sigma$ - значит, распределение не равномерное.
Самопроверка: верни ответ в смысл задачи. Вероятность больше $1$ , отрицательная вероятность или ожидание вне отрезка $[a;\, b]$ означают, что формула применена неверно.

Проверь себя

Чему равна плотность величины, равномерно распределённой на отрезке $[0;\, 5]$ ?
Величина $X$ равномерна на отрезке $[2;\, 10]$ . Чему равна $P(X \leqslant 5)$ ?
Величина $X$ равномерна на отрезке $[0;\, 6]$ . Чему равна $D(X)$ ?
Автобусы ходят с интервалом $30$ минут. Пассажир ждёт уже $10$ минут. Какова вероятность, что автобус придёт в ближайшие $5$ минут?

Равномерное распределение

Равномерное распределение (Задание 6)

Суть темы

Основные формулы

Алгоритм решения

Примеры решения

Выписываем границы

Находим длину нужного куска

Делим длины

Переводим время в минуты

Находим длину нужного куска

Делим длины

Узнаём распределение по плотности

Подставляем в формулу дисперсии

Отбрасываем то, что уже не может случиться

Находим длину нужного куска

Делим длины

Находим длину отрезка из дисперсии

Находим сумму границ из ожидания

Решаем систему

Частые ошибки

Что запомнить