Задание 9: Производная и первообразная

Переводим задачу на язык тангенса

По геометрическому смыслу производной $f'(x_0) = \tg \alpha$. Нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.

Строим прямоугольный треугольник

Найди на касательной две точки с целыми координатами. По графику видно, что прямая проходит через точки $(-2;\, 3)$ и $(2;\, 2)$. Дострой по этим точкам прямоугольный треугольник (мысленно или на черновике).

Считаем катеты и тангенс

Посчитай длины катетов по клеточкам:

• Вертикальный катет $\Delta y = 1$
• Горизонтальный катет $\Delta x = 4$

Вычисли тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему): $\tg \alpha = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

Определяем знак

Касательная идёт «под горку» (слева направо опускается вниз), значит, угол наклона тупой, а функция убывает. Следовательно, производная отрицательная. Добавляем минус.

Ответ: $-0{,}25$

Определяем, что на графике

Главное: перед нами график производной $y = f'(x)$.

Переводим вопрос на язык производной

Вспомни правило: функция $f(x)$ возрастает там, где её производная положительна ($f'(x) > 0$). На графике производной условие $f'(x) > 0$ выполняется там, где линия графика проходит выше оси абсцисс (оси $X$).

Отбираем точки

Посчитай точки, которые лежат в этой зоне. По графику видно, что точки $x_1, x_2, x_3$ и $x_6$ находятся выше оси $X$.

Точки $x_4, x_5, x_7$ и $x_8$ находятся ниже оси $X$ - там производная отрицательна, а значит, сама функция убывает. Они нам не подходят.

Итого мы нашли $4$ подходящие точки.

Ответ: $4$

Определяем, что на графике

Перед нами график первообразной $F(x)$, а не самой функции.

Переводим вопрос на язык первообразной

По определению первообразной $F'(x) = f(x)$. Значит, $f(x) = 0$ в тех точках, где касательная к графику $F(x)$ горизонтальна, то есть в точках экстремума графика $F(x)$.

Считаем точки экстремума

На отрезке $[-3;\, 5]$ график $F(x)$ имеет три точки экстремума: локальный максимум при $x = -1$, локальный минимум при $x = 2$ и локальный максимум при $x = 4$.

Итого уравнение $f(x) = 0$ имеет $3$ решения.

Ответ: $3$

Вспоминаем физический смысл

Скорость - это производная координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

Находим производную

Подставляем момент времени

Подставим $t = 4$:

Ответ: $5$