Окружности и четырехугольники, разные задачи

Пункт а: находим вписанную трапецию ABED

Так как $ABCD$ - параллелограмм, прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Значит, четырёхугольник $ABED$, все вершины которого лежат на окружности, является вписанной трапецией с основаниями $AD$ и $BE$.

Любая вписанная трапеция равнобедренная. Значит, её диагонали равны: $AE = BD$.

Пункт а: вторая трапеция и вывод

Аналогично: так как $AB \parallel CD$, четырёхугольник $ABKD$ - вписанная трапеция с основаниями $AB$ и $DK$. Она тоже равнобедренная, её диагонали равны: $AK = BD$.

Из равенств $AE = BD$ и $AK = BD$ получаем $AE = AK$. Ч.т.д.

Пункт б: находим сторону AB через равнобедренный треугольник

Пусть сторона $AB = y$. Тогда $CD = y$. В равнобедренной трапеции $ABED$ боковые стороны равны: $DE = AB = y$.

Посмотри на треугольник $CDE$: его стороны равны $CD = y$, $DE = y$ и $CE = 8$. Он равнобедренный с основанием $CE$. Угол $\angle BCD$ параллелограмма равен $\angle BAD$ (противоположные углы параллелограмма), поэтому $\cos \angle BCD = 0{,}25$. Проведём высоту $DH$ в равнобедренном треугольнике $CDE$. Она разделит основание $CE$ пополам: $CH = 4$. Из прямоугольного треугольника $CDH$: $\cos \angle BCD = \dfrac{CH}{CD} \implies 0{,}25 = \dfrac{4}{y} \implies y = 16$. Итак, $AB = CD = 16$.

Пункт б: применяем степень точки

Пусть $AD = x$. Так как $ABCD$ - параллелограмм, $BC = x$.

Вернёмся к окружности. Из точки $C$, лежащей вне окружности, проведены две секущие: прямая $CB$ и прямая $CD$. По теореме о секущих (степень точки):

Мы знаем, что $CB = x$, $CE = 8$, $CD = 16$. Отрезок $CK = CD - DK = 16 - 5 = 11$. Подставляем всё в формулу:

Значит, $AD = 22$.

Ответ: б) $22$.

Пункт а: доказываем подобие треугольников

Так как четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Значит, $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$.

Углы $\angle ABC$ и $\angle PBC$ - смежные, поэтому $\angle PBC = 180^\circ - \angle ABC$.

Сравнивая равенства, получаем, что $\angle PBC = \angle ADC$ (то есть $\angle PDA$).

Посмотри на треугольники $PBC$ и $PDA$. У них:

• Угол $\angle P$ - общий.

• $\angle PBC = \angle PDA$ (доказано выше).

Значит, $\triangle PBC \sim \triangle PDA$ по двум углам. Ч.т.д.

Пункт б: находим PB из подобия

Найдём длины сторон из соотношения подобия. Секущая $PD = PC + CD = 4 + 5 = 9$. Пусть отрезок $PB = x$, тогда $PA = PB + AB = x + 5$. Из подобия треугольников $PBC$ и $PDA$ выпишем отношение соответствующих сторон (лежащих напротив равных углов):

По пропорции:

Корни квадратного уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -9$ (не удовлетворяет геометрическому смыслу). Следовательно, $PB = 4$.

Пункт б: находим косинус угла P

Заметим, что в треугольнике $PBC$ стороны $PB = 4$ и $PC = 4$. Значит, треугольник равнобедренный. По условию $BC = 6$. Найдём косинус угла $P$ по теореме косинусов для треугольника $PBC$:

(Отрицательный косинус означает, что угол $P$ - тупой, чертёж может быть обманчив, но на вычисления это не влияет).

Пункт б: вычисляем диагональ BD

Нам нужна диагональ $BD$. Посмотри на треугольник $PBD$. В нём известны две стороны: $PB = 4$ и $PD = 9$, а также косинус угла между ними: $\cos P = -\dfrac{1}{8}$. Применим теорему косинусов для треугольника $PBD$:

Следовательно, $BD = \sqrt{106}$.

Ответ: б) $\sqrt{106}$.