Шар

Шар и сфера

В задании 3 (простейшая стереометрия) задачи на шар встречаются не так часто, как на призму или пирамиду, но они требуют чёткого знания формул. В отличие от многогранников, у шара нет граней и рёбер, всё зависит только от одного параметра - радиуса $R$.

Сфера - это оболочка (как мыльный пузырь или оболочка баскетбольного мяча). Мы можем вычислить её площадь. Шар - это сплошное тело (как арбуз или бильярдный шар). Мы можем вычислить его объём.

Основные формулы

Все вычисления сводятся к двум главным формулам. В них всегда присутствует число $\pi$, но в заданиях первой части оно обычно либо сокращается в процессе решения, либо в условии просят записать ответ в виде $\frac{V}{\pi}$.

Шар, вписанный в цилиндр

Это самая популярная конструкция в задачах на шар. Если шар вписан в цилиндр, он касается его оснований и боковой поверхности.

Из этого геометрического факта вытекают жёсткие связи:

1. Радиус основания цилиндра равен радиусу шара: $r_{\text{цил}} = R$.
2. Высота цилиндра равна диаметру шара: $h_{\text{цил}} = 2R$.

Если расписать объём цилиндра через радиус шара, получится:

Сравним это с объёмом шара ($V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$):

Объём цилиндра, описанного около шара, всегда ровно в $1{,}5$ раза больше объёма этого шара. То же самое правило работает и для площадей их поверхностей.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём типичные экзаменационные задачи от самых простых к более нестандартным.

Пример 1. Связь площади сечения и поверхности

Условие: Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара, равна $12$. Найдите площадь поверхности шара.

Пример 2. Вписанный шар

Условие: Шар, объём которого равен $18$, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Пример 3. Изменение объёма шара

Условие: Шарообразный воздушный шар имеет объём $972\pi \text{ см}^3$. Из-за охлаждения воздуха его объём уменьшился в $8$ раз. Найдите радиус шара (в сантиметрах) после охлаждения.

Частые ошибки

Что запомнить

Проверь себя

1. По какой формуле вычисляется объём шара радиуса $R$?
   • $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
   • $V = 4\pi R^3$
   • $V = \dfrac{4}{3}\pi R^2$
   • $V = \pi R^3$
2. Площадь большого круга шара равна $7$. Чему равна площадь поверхности шара?
   • $28$
   • $14$
   • $7\pi$
   • $21$
3. Шар вписан в цилиндр. Во сколько раз объём цилиндра больше объёма шара?
   • В $1{,}5$ раза
   • В $2$ раза
   • В $\dfrac{4}{3}$ раза
   • Их объёмы равны
4. Объём шара уменьшили в $8$ раз. Во сколько раз уменьшился его радиус?
   • В $2$ раза
   • В $8$ раз
   • В $4$ раза
   • В $\sqrt{8}$ раз

Проверить