Среднее число испытаний до успеха

Узнаём схему

Звонки независимы, вероятность ответа в каждом одна и та же, серия идёт до первого успеха. Значит, $X$ - число испытаний до первого успеха при $p = 0{,}4$.

Считаем по формуле

Проверяем рассуждением

Обозначим $E(X) = m$. Первый звонок делается всегда; с вероятностью $0{,}6$ всё начинается заново:

Ответ: 2,5

Разбиваем поиск на этапы

Три этапа: до первой найденной детали, от первой до второй, от второй до третьей. После каждой находки схема начинается заново - звонки независимы.

Считаем один этап

Складываем ожидания

Ожидание суммы равно сумме ожиданий, поэтому

Ответ: 15

Находим среднее число выездов

$X$ - число выездов до первого успеха при $p = 0{,}4$:

Записываем затраты через $X$

Применяем свойство ожидания

Свойство $E(aX + b) = aE(X) + b$ разобрано в конспекте «Свойства ожидания и дисперсии»; распределение числа выездов выписывать не понадобилось.

Ответ: 9950

Разбиваем на этапы по новым видам

Первый заказ всегда приносит новый вид - ровно $1$ заказ.

Считаем длину каждого этапа

Собран один вид: новый попадается с вероятностью $\dfrac{2}{3}$, в среднем нужно $\dfrac{3}{2}$ заказа. Собрано два вида: остался один нужный из трёх, вероятность $\dfrac{1}{3}$, в среднем $3$ заказа.

Складываем

Ответ: 5,5

Описываем этап номер $k$

Этап $k$ длится от момента, когда собрано $k - 1$ цветов, до появления $k$-го нового цвета. Новый цвет выпадает с вероятностью $\dfrac{6 - (k-1)}{6}$, поэтому этап занимает в среднем $\dfrac{6}{7 - k}$ посещений.

Складываем шесть этапов

Смотрим на структуру ответа

Пять цветов из шести набираются в среднем за $8{,}7$ посещения, а последний - ещё за $6$. Хвост тяжелее всей остальной коллекции.

Ответ: 14,7